Questão 156 caderno azul ENEM 2009 2° Dia

Para cada indivíduo, a sua inscrição no Cadastro de Pessoas Físicas (CPF) é composto por um número de 9 algarismos e outro número de 2 algarismos, na forma d₁ e d₂, em que os dígitos d₁ e d₂ são denominados dígitos verificadores.

Os dígitos verificadores são calculados, a partir da esquerda, da seguinte maneira: os 9 primeiros algarismos são multiplicados pela sequência 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 (o primeiro por 10, o segundo por 9, e assim sucessivamente); em seguida, calcula-se o resto r da divisão da soma dos resultados das multiplicações por 11, e se esse resto r for 0 ou 1, d₁ é zero, caso contrário d₁ = (11 – r).

O dígito d₂ é calculado pela mesma regra, na qual os números a serem multiplicados pela sequência dada são contados a partir do segundo algarismo, sendo d₁ o último algarismo, isto é, d₂ é zero se o resto s da divisão por 11 das somas das multiplicações for 0 ou 1, caso contrário, d₂ = (11 – s).

Suponha que João tenha perdido seus documentos, inclusive o cartão de CPF e, ao dar queixa da perda na delegacia, não conseguisse lembrar quais eram os dígitos verificadores, recordando-se apenas que os nove primeiros algarismos eram 123.456.789.

Neste caso, os dígitos verificadores d₁ e d₂ esquecidos são, respectivamente,

A) 0 e 9.

B) 1 e 4.

C) 1 e 7.

D) 9 e 1.

E) 0 e 1.

Matérias Necessárias para a Solução da Questão

Interpretação de Algoritmos
Operações Aritméticas Básicas (Multiplicação, Soma)
Divisão Euclidiana (cálculo do resto)

Tema/Objetivo Geral:

Executar um algoritmo passo a passo para encontrar os dígitos verificadores de um número de CPF.

Nível da Questão

Médio – A questão não envolve conceitos matemáticos avançados, mas é classificada como média por exigir uma leitura extremamente atenta de um algoritmo longo e por envolver múltiplas etapas de cálculo. Um pequeno erro em qualquer uma das somas ou multiplicações compromete todo o resultado, demandando alta concentração.

Gabarito

A) 0 e 9. – Esta alternativa está correta pois, ao seguir rigorosamente o algoritmo descrito, a primeira soma gera um resto 1 (resultando em d1 = 0), e a segunda soma, utilizando o d1 encontrado, gera um resto 2 (resultando em d2 = 9).

🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo

1.1 Transcrição Essencial
A parte do enunciado que nos guia é: “Suponha que João […] não conseguisse lembrar quais eram os dígitos verificadores, recordando-se apenas que os nove primeiros algarismos eram 123.456.789. Neste caso, os dígitos verificadores d1 e d2 esquecidos são, respectivamente…”

1.2 O que está sendo pedido?
A questão nos dá uma “receita de bolo” (o algoritmo) e os “ingredientes” (os 9 primeiros dígitos do CPF) e nos pede para seguir a receita para descobrir os dois dígitos finais, d1 e d2.

1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é aplicar as regras de cálculo duas vezes: a primeira para encontrar o dígito d1, e a segunda, usando o valor de d1, para encontrar o dígito d2.

1.4 Pergunta de Atenção
Você notou que o cálculo de d2 depende do resultado de d1? Isso significa que não podemos calcular os dois ao mesmo tempo; é um processo sequencial e, se errarmos o primeiro, erraremos o segundo também.

📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários

2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos

Algoritmo: É uma sequência finita de regras, um passo a passo, que nos leva à solução de um problema. Neste caso, é o método para calcular os dígitos verificadores.

Dígito Verificador (DV): É um mecanismo de autenticação usado para verificar a validade de um número, como CPF ou CNPJ. Ele é calculado a partir dos outros dígitos do número. Se você digita um número errado, o DV calculado não bate com o DV informado, e o sistema acusa o erro.

Resto da Divisão (Divisão Euclidiana): Quando dividimos um número (dividendo) por outro (divisor), obtemos um resultado (quociente) e uma sobra (resto). Por exemplo, ao dividir 210 por 11, temos 210 = 11 × 19 + 1. Aqui, o quociente é 19 e o resto é 1. É este resto que a regra do CPF utiliza.

📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema

3.1 Contextualização Simplificada
Vamos encarar o problema como uma receita. Temos os 9 ingredientes principais (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).

Receita para d1: Pegue os 9 ingredientes, multiplique-os por pesos específicos (10, 9, 8…), some tudo, divida por 11 e olhe o que sobrou. A partir dessa sobra, você descobre o d1.

Receita para d2: Pegue os ingredientes do 2º ao 9º e acrescente o d1 que você acabou de fazer. Repita o processo de multiplicar, somar, dividir por 11 e olhar a sobra para encontrar o d2.

3.2 Estratégia Geral
O plano é simples e direto, seguindo o algoritmo:

Calcular o valor da primeira soma de produtos para encontrar d1.
Usar o valor de d1 para montar a segunda lista de números.
Calcular o valor da segunda soma de produtos para encontrar d2.

🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos

4.1 Passo a Passo Detalhado

Parte 1: Cálculo do primeiro dígito verificador (d1)

Primeiro, multiplicamos os 9 dígitos do CPF pela sequência 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2:
Soma 1 = (1 * 10) + (2 * 9) + (3 * 8) + (4 * 7) + (5 * 6) + (6 * 5) + (7 * 4) + (8 * 3) + (9 * 2)
Soma 1 = 10 + 18 + 24 + 28 + 30 + 30 + 28 + 24 + 18
Soma 1 = 210

Agora, dividimos essa soma por 11 para encontrar o resto r:
210 / 11
210 = 11 * 19 + 1
O resto r da divisão é 1.

Aplicamos a regra para d1: “se esse resto r for 0 ou 1, d1 é zero”.
Como r = 1, então d1 = 0.

Parte 2: Cálculo do segundo dígito verificador (d2)

Para d2, usamos os 8 dígitos do meio do CPF (do segundo ao nono) e acrescentamos o d1 no final. Os números são: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e d1 (que é 0).
Multiplicamos essa nova lista pela mesma sequência de pesos:
Soma 2 = (2 * 10) + (3 * 9) + (4 * 8) + (5 * 7) + (6 * 6) + (7 * 5) + (8 * 4) + (9 * 3) + (0 * 2)
Soma 2 = 20 + 27 + 32 + 35 + 36 + 35 + 32 + 27 + 0
Soma 2 = 244

Agora, dividimos essa soma por 11 para encontrar o resto s:
244 / 11
244 = 11 * 22 + 2
O resto s da divisão é 2.

Aplicamos a regra para d2: “se o resto s […] for 0 ou 1, d2 é zero, caso contrário d2 = (11 – s)”.
Como s = 2 (que não é 0 nem 1), usamos a segunda parte da regra:
d2 = 11 – s
d2 = 11 – 2
d2 = 9.

4.2 Verificação Intermediária
Encontramos que d1 = 0 e d2 = 9. Os passos seguiram estritamente o algoritmo descrito no enunciado, sem pular etapas.

4.3 Possível armadilha
A principal armadilha é um simples erro de cálculo em uma das 18 multiplicações ou nas duas longas somas. Outro ponto de atenção é a montagem da lista de números para o cálculo de d2. Muita gente poderia esquecer de incluir o d1 encontrado (embora neste caso não alterasse a soma, pois d1=0) ou usar a lista errada de dígitos.

4.4 Fechamento e expectativa
Os cálculos nos levaram à conclusão de que os dígitos verificadores são 0 e 9, respectivamente. Esperamos encontrar essa combinação exata em uma das alternativas.

✅ Passo 5: Análise das Alternativas

5.1 Listagem das Alternativas

A) 0 e 9.
B) 1 e 4.
C) 1 e 7.
D) 9 e 1.
E) 0 e 1.

5.2 Justificativa Individual

🟢 (A) 0 e 9: Correto. Corresponde exatamente aos valores que encontramos seguindo o algoritmo passo a passo (d1 = 0 e d2 = 9).
🔴 (B) 1 e 4: Incorreto. Para d1 ser 1, o resto da primeira divisão precisaria ser 10. Para d2 ser 4, o resto da segunda divisão precisaria ser 7. Ambos os casos não correspondem aos nossos cálculos.
🔴 (C) 1 e 7: Incorreto. Mesma lógica da alternativa B, os restos necessários para gerar esses dígitos não são os que encontramos.
🔴 (D) 9 e 1: Incorreto. Inverte a ordem e os valores corretos.
🔴 (E) 0 e 1: Incorreto. O valor de d1 está correto, mas o de d2 não. D2 seria 1 se o resto da segunda divisão fosse 10.

🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final

6.1 Resumo do Raciocínio
A solução foi obtida pela aplicação metódica e cuidadosa do algoritmo fornecido. Primeiro, calculou-se o dígito d1 a partir dos 9 dígitos iniciais. Em seguida, o valor de d1 foi utilizado para compor a lista de números necessária para o cálculo do dígito d2.

6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a A, que apresenta os dígitos verificadores 0 e 9.

6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Em problemas de algoritmo, a chave é a paciência e a organização. Trate o processo como uma receita: separe os ingredientes (os números) e siga cada passo da preparação (as contas) sem desvios, verificando cada resultado antes de prosseguir.