A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada uma altura de 2,2 metros. Um paciente ao caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou 3,2 metros e alcançou uma altura de 0,8 metro.
A distância em metros que o paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa é
A) 1,16 metros.
B) 3,0 metros.
C) 5,4 metros.
D) 5,6 metros.
E) 7,04 metros.
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Plana
- Semelhança de Triângulos
- Razão e Proporção
Tema/Objetivo Geral:
- Aplicação do conceito de semelhança de triângulos para resolver um problema do cotidiano envolvendo medidas e distâncias.
Nível da Questão
- Médio – A questão é de nível médio porque exige que o aluno visualize a situação como um problema geométrico, identifique os dois triângulos semelhantes implícitos no enunciado e monte corretamente a proporção. O cálculo em si é simples, mas a interpretação e a modelagem são a chave para a resolução.
Gabarito
- D) 5,6 metros. – A alternativa está correta pois, ao calcular o comprimento total da rampa por semelhança de triângulos (8,8 m) e subtrair a distância já percorrida (3,2 m), o resultado é exatamente 5,6 metros.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
A pergunta que precisamos responder é: “A distância em metros que o paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa é…”
1.2 O que está sendo pedido?
O problema quer que a gente calcule o comprimento do trecho que falta para o paciente completar a subida da rampa.
1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo final é encontrar a diferença entre o comprimento total da rampa e a distância que o paciente já percorreu.
1.4 Pergunta de Atenção
Você notou que a questão não pede o tamanho total da rampa, mas sim o que falta para chegar ao fim? Essa é uma pegadinha clássica em muitos problemas de matemática. Achar o comprimento total é apenas uma parte do caminho!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
- Triângulo Retângulo: É um triângulo que possui um ângulo reto (90°). A rampa, o chão (plano horizontal) e a altura formam um triângulo retângulo. O lado maior, oposto ao ângulo de 90°, é a hipotenusa (a rampa em si), e os outros dois lados são os catetos (a altura e a distância no chão).
- Semelhança de Triângulos: Dois triângulos são considerados semelhantes quando possuem os três ângulos internos iguais. A consequência mais importante disso é que seus lados correspondentes são proporcionais. Imagine uma foto e uma ampliação perfeita dela: as formas são idênticas, mas os tamanhos são diferentes, mantendo uma proporção constante.
- Razão e Proporção: É a ferramenta que usamos para trabalhar com a semelhança. Se os lados são proporcionais, podemos montar uma igualdade entre as razões (divisões) dos lados correspondentes.
- Fórmula: (Lado A do triângulo 1 / Lado B do triângulo 1) = (Lado A do triângulo 2 / Lado B do triângulo 2)
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Vamos “desenhar” a situação com palavras: temos uma rampa gigante, que forma um grande triângulo retângulo com a altura total de 2,2 m. O paciente andou um pedaço dessa rampa (3,2 m) e, nesse ponto, ele está a uma altura de 0,8 m. Esse pedaço que ele andou forma um triângulo retângulo menor, que é uma “versão miniatura” do triângulo da rampa inteira, pois a inclinação é a mesma. Nossa tarefa é descobrir o tamanho do resto da rampa.
3.2 Estratégia Geral
Nosso plano de ataque será em duas etapas:
- Usar a semelhança entre o triângulo pequeno (percorrido) e o triângulo grande (total) para descobrir o comprimento total da rampa.
- Subtrair o trecho já percorrido (3,2 m) do comprimento total para encontrar a distância que falta.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Vamos identificar os dados dos nossos dois triângulos semelhantes:
- Triângulo Pequeno (percorrido pelo paciente):
- Comprimento percorrido na rampa (hipotenusa) = 3,2 m
- Altura alcançada (cateto) = 0,8 m
- Triângulo Grande (rampa inteira):
- Comprimento total da rampa (hipotenusa) = X (é o que queremos descobrir primeiro)
- Altura total (cateto) = 2,2 m
Agora, vamos montar a proporção usando a relação entre a hipotenusa e a altura em ambos os triângulos:
(Comprimento da rampa pequena) / (Altura pequena) = (Comprimento da rampa grande) / (Altura grande)
Substituindo os valores:
3,2 / 0,8 = X / 2,2
Primeiro, podemos simplificar a primeira fração para facilitar as contas:
3,2 dividido por 0,8 é igual a 4.
4 = X / 2,2
Agora, para encontrar o valor de X, basta passar o 2,2 que está dividindo para o outro lado, multiplicando:
X = 4 * 2,2
X = 8,8 metros
Este é o comprimento total da rampa.
4.2 Verificação Intermediária
Encontramos que o comprimento total da rampa é de 8,8 metros. Esse valor faz sentido, pois é maior que os 3,2 metros que o paciente já andou.
4.3 Passo Final: Calcular a distância restante.
Agora, voltamos à pergunta original. A questão pede a distância que ainda deve caminhar.
Distância restante = Comprimento Total – Distância Percorrida
Distância restante = 8,8 – 3,2
Distância restante = 5,6 metros
4.4 Possível armadilha
A armadilha mais perigosa aqui seria parar depois de encontrar X = 8,8 metros. A emoção de achar um resultado pode fazer com que você procure esse valor nas alternativas e, se ele estivesse lá, você poderia marcar a resposta errada. Lembre-se sempre de reler a pergunta do enunciado antes de marcar a alternativa final!
4.5 Fechamento e expectativa
Nosso cálculo nos levou a 5,6 metros como a distância que falta ser percorrida. Esperamos encontrar exatamente este valor em uma das alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
- A) 1,16 metros.
- B) 3,0 metros.
- C) 5,4 metros.
- D) 5,6 metros.
- E) 7,04 metros.
5.2 Justificativa Individual
- 🔴 (A) 1,16 metros: Incorreto. Este valor não corresponde ao cálculo da proporção.
- 🔴 (B) 3,0 metros: Incorreto.
- 🔴 (C) 5,4 metros: Incorreto. Pode ser resultado de um pequeno erro de cálculo ou arredondamento indevido.
- 🟢 (D) 5,6 metros: Correto. Confere perfeitamente com o nosso resultado final, obtido pela diferença entre o comprimento total da rampa (8,8 m) e a distância já percorrida (3,2 m).
- 🔴 (E) 7,04 metros: Incorreto. Este valor (3,2 * 2,2 = 7,04) seria obtido por uma multiplicação direta de alguns dados do problema, sem aplicar o conceito correto de proporção.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
A solução foi encontrada ao modelar a rampa como a hipotenusa de dois triângulos retângulos semelhantes. Através da proporção entre os lados correspondentes, calculamos o comprimento total da rampa e, em seguida, subtraímos a distância já percorrida para achar o trecho restante.
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a D, que corresponde a 5,6 metros.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Sempre que um problema descrever uma situação que pode ser dividida em “figuras dentro de figuras” com a mesma forma (como a rampa), desconfie de semelhança de triângulos. É uma das ferramentas mais úteis para encontrar medidas desconhecidas
