Os estilos musicais preferidos pelos jovens brasileiros são o samba, o rock e a MPB. O quadro a seguir registra o resultado de uma pesquisa relativa à preferência musical de um grupo de 1 000 alunos de uma escola. Alguns alunos disseram não ter preferência por nenhum desses três estilos.
Se for selecionado ao acaso um estudante no grupo pesquisado, qual é a probabilidade de ele preferir somente MPB?
A) 2%
B) 5%
C) 6%
D) 11%
E) 20%
Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
Matemática (Teoria de Conjuntos – Diagrama de Venn, Probabilidade)
Tema/Objetivo Geral:
Cálculo de probabilidade a partir da análise e organização de dados de uma pesquisa com interseções entre grupos.
Nível da Questão:
Difícil. Esta questão é considerada difícil porque exige um raciocínio em múltiplas etapas. Não basta aplicar a fórmula da probabilidade diretamente. Antes, é preciso interpretar corretamente os dados da tabela, que representam totais de grupos e interseções, e organizá-los (idealmente com um Diagrama de Venn) para encontrar o número exato de elementos que pertencem exclusivamente a um conjunto. A chance de erro na interpretação dos dados é alta.
Gabarito:
A alternativa correta é a D. Ela está correta pois, após calcular o número de estudantes que gostam exclusivamente de MPB (110 alunos), a probabilidade de sortear um deles no universo de 1000 alunos é de 110/1000, ou 11%.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“Se for selecionado ao acaso um estudante no grupo pesquisado, qual é a probabilidade de ele preferir somente MPB?”
1.2 O que está sendo pedido?
O exercício pede para calcular a chance, em porcentagem, de sortear um aluno que gosta de MPB, mas que não gosta nem de rock nem de samba.
1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo final é calcular a probabilidade P = (Casos Favoráveis) / (Casos Possíveis). Para isso, primeiro precisamos descobrir o número exato de alunos que se encaixam nos “casos favoráveis” (gostam apenas de MPB).
1.4 Pergunta de Atenção
Você percebeu que o valor “200” na tabela para MPB não é o número de pessoas que gostam somente de MPB, mas sim o total de pessoas que gostam de MPB, incluindo aquelas que também gostam de outros estilos? A palavra “somente” é a chave de tudo!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
Para resolver este problema, precisamos de dois conceitos matemáticos principais:
- Teoria de Conjuntos (com Diagrama de Venn):
- O que é? O Diagrama de Venn é um desenho, geralmente com círculos, que nos ajuda a visualizar e organizar grupos que têm membros em comum. Cada círculo representa um grupo (no nosso caso, um estilo musical).
- Interseção: A área onde os círculos se sobrepõem é chamada de interseção. Ela representa os elementos que pertencem a mais de um grupo ao mesmo tempo (ex: alunos que gostam de rock E samba).
- Regra de Ouro: Para preencher um Diagrama de Venn, sempre comece pela interseção mais central (a que envolve todos os conjuntos) e vá trabalhando para as partes externas, subtraindo os valores já preenchidos.
- Probabilidade:
- O que é? É o ramo da matemática que estuda as chances de um determinado evento ocorrer.
- Fórmula:P = (Número de Casos Favoráveis) / (Número de Casos Possíveis)
- Casos Favoráveis: É o número de resultados que nos interessam. No nosso problema, é o “número de alunos que gostam somente de MPB”.
- Casos Possíveis: É o número total de todos os resultados possíveis. No nosso problema, é o “número total de alunos pesquisados” (1000).
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Imagine que você tem 1000 alunos e uma tabela cheia de números sobre seus gostos musicais. A tabela te diz, por exemplo, que 200 alunos gostam de MPB. Mas esse número é “bruto”, ele inclui os fãs de MPB que também curtem rock, os que também curtem samba e os que curtem tudo. Sua missão é ser um detetive: você precisa “filtrar” esse grupo de 200 pessoas e descobrir quantos deles são fãs “puros”, que gostam apenas de MPB. Depois de encontrar esse número, você calcula a chance de tirar um desses fãs “puros” em um sorteio com todos os 1000 alunos.
3.2 Estratégia Geral
Nosso plano de ataque será o seguinte:
- Desenhar um Diagrama de Venn com três círculos: Rock, Samba e MPB.
- Preencher o diagrama de dentro para fora, começando pela interseção dos três estilos.
- Calcular as interseções de dois estilos, lembrando de subtrair o valor central.
- Calcular o número de alunos que gostam somente de MPB, subtraindo do total de MPB todas as interseções contidas em seu círculo.
- Aplicar a fórmula da probabilidade com o número encontrado e o total de 1000 alunos.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Vamos executar a estratégia, preenchendo o Diagrama de Venn.
- 1. Interseção Central (Rock, Samba e MPB):
A tabela informa que 20 alunos gostam dos três estilos. Colocamos esse número na interseção central dos três círculos.
- 2. Interseção de “Samba e MPB”:
A tabela diz que 50 alunos gostam de Samba e MPB. Esse número inclui os 20 que também gostam de Rock. Para achar quem gosta apenas de Samba e MPB, subtraímos:
50 – 20 = 30 alunos.
- 3. Interseção de “Rock e MPB”:
A tabela diz que 60 alunos gostam de Rock e MPB. Novamente, subtraímos os 20 que gostam dos três estilos:
60 – 20 = 40 alunos.
- 4. Cálculo de quem gosta “Somente de MPB”:
Agora olhamos para o círculo total de MPB. A tabela diz que 200 alunos gostam de MPB. Esse total é a soma de quatro partes:- Os que gostam somente de MPB (o que queremos achar).
- Os que gostam de MPB e Rock (mas não Samba) = 40.
- Os que gostam de MPB e Samba (mas não Rock) = 30.
- Os que gostam dos três = 20.
Para achar quem gosta somente de MPB, subtraímos os outros três grupos do total:
Somente MPB = 200 – 40 – 30 – 20
Somente MPB = 200 – 90
Somente MPB = 110 alunos
- 5. Cálculo da Probabilidade:
- Casos Favoráveis (gostam somente de MPB) = 110
- Casos Possíveis (total de alunos) = 1000
- Probabilidade = 110 / 1000
- Probabilidade = 0,11
- Para converter em porcentagem, multiplicamos por 100:
- Probabilidade = 0,11 * 100 = 11%
4.2 Verificação Intermediária
Encontramos 110 alunos que gostam exclusivamente de MPB. Esse número é menor que 200 (o total de fãs de MPB), o que faz todo o sentido. A probabilidade de 11% parece um resultado razoável.
4.3 Possível armadilha
A armadilha mais comum é usar os dados da tabela diretamente no cálculo da probabilidade. Você pode ter pensado que a probabilidade era 200/1000 = 20%, o que corresponde à alternativa E. Esse erro acontece ao não diferenciar “gostar de MPB” de “gostar somente de MPB”. Outra armadilha é não subtrair a interseção central ao calcular as interseções duplas, o que levaria a um número negativo de fãs exclusivos de MPB.
4.4 Fechamento e expectativa
Nosso cálculo detalhado, usando a lógica de conjuntos, nos levou a uma probabilidade de 11%. Agora, vamos verificar se essa resposta está nas alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) 2%
B) 5%
C) 6%
D) 11%
E) 20%
5.2 Justificativa Individual
- (🔴) A) 2%: Incorreta. Este resultado (20/1000) representa a probabilidade de sortear alguém que gosta dos três estilos musicais, não somente de MPB.
- (🔴) B) 5%: Incorreta. Este resultado (50/1000) representa a probabilidade de sortear alguém do grupo que gosta de “samba e MPB”, sem levar em conta as outras interseções.
- (🔴) C) 6%: Incorreta. Este resultado (60/1000) representa a probabilidade de sortear alguém do grupo que gosta de “rock e MPB”, ignorando as outras interseções.
- (🟢) D) 11%: Correta. Este valor (110/1000) corresponde exatamente ao nosso cálculo da probabilidade de sortear um aluno que gosta exclusivamente de MPB.
- (🔴) E) 20%: Incorreta. Este resultado (200/1000) é a probabilidade de sortear alguém que gosta de MPB (seja de forma exclusiva ou não). É a armadilha mais comum da questão.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
Para resolver o problema, organizamos os dados da pesquisa em um Diagrama de Venn, começando pela interseção central e subtraindo os valores para encontrar os números de cada região exclusiva. Determinamos que 110 alunos gostam somente de MPB e, então, calculamos a probabilidade dividindo esse número pelo total de 1000 alunos.
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a D) 11%.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Em problemas de probabilidade com grupos que se sobrepõem, a palavra “somente” é um sinal de alerta. Use sempre um Diagrama de Venn e comece o preenchimento de dentro para fora para não se perder nos cálculos
