As sacolas plásticas sujam florestas, rios e oceanos e quase sempre acabam matando por asfixia peixes, baleias e outros animais aquáticos. No brasil, em 2007, foram consumidas 18 bilhões de sacolas plásticas. Os supermercados brasileiros se preparam para acabar com as sacolas plásticas até 2016. Observe o gráfico a seguir, em que se considera a origem como o ano de 2007.
De acordo com as informações, quantos bilhões de sacolas plásticas serão consumidos em 2011?
A) 4,0
B) 6,5
C) 7,0
D) 8,0
E) 10,0
Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
Matemática (Função do 1º Grau / Função Afim, Interpretação de Gráficos)
Tema/Objetivo Geral:
Modelagem matemática de uma situação-problema a partir de um gráfico linear para fazer uma previsão.
Nível da Questão:
Médio. A questão é considerada de nível médio porque não basta apenas um cálculo direto. É necessário interpretar as informações do texto e do gráfico, reconhecer que a relação é linear (uma função do 1º grau), encontrar a equação que descreve essa relação e, só então, usá-la para encontrar o valor pedido.
Gabarito:
A alternativa correta é a E. A resposta está correta pois, ao determinar a função que rege a queda no consumo de sacolas, o ano de 2011 (correspondente a x=4) resulta em uma previsão de 10 bilhões de sacolas consumidas.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“De acordo com as informações, quantos bilhões de sacolas plásticas serão consumidos em 2011?”
1.2 O que está sendo pedido?
O exercício pede para prever o número de sacolas (em bilhões) que serão consumidas no ano de 2011, com base na tendência de queda linear apresentada no gráfico.
1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é encontrar a “lei de formação” ou a equação da reta mostrada no gráfico e, em seguida, utilizá-la para calcular o valor do consumo para o ano de 2011.
1.4 Pergunta de Atenção
Você reparou que o eixo horizontal (eixo x) do gráfico não representa o ano em si (como 2007, 2008…), mas sim o “Nº de anos após 2007″? Isso é um detalhe crucial!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
Para resolver este problema, o principal conceito é o de Função do 1º Grau (ou Função Afim).
- O que é? É toda função cuja representação gráfica é uma linha reta. Ela descreve situações em que a variação é constante.
- Fórmula Geral: y = a*x + b
- Os Coeficientes:
- b (Coeficiente Linear): É o valor inicial, o “ponto de partida”. No gráfico, é o ponto onde a reta corta o eixo y (o eixo vertical). É o valor de y quando x é igual a zero.
- a (Coeficiente Angular): É a taxa de variação, ou seja, o quanto o valor de y muda a cada vez que o valor de x aumenta em uma unidade. É a “inclinação” da reta.
- Se a reta sobe, a é positivo (crescimento).
- Se a reta desce, como no nosso caso, a é negativo (decréscimo).
- Como encontrar a equação da reta?
Precisamos de dois pontos (x, y) que pertençam à reta. Com eles, montamos um sistema de equações ou usamos a lógica dos coeficientes para encontrar os valores de a e b.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Imagine que o governo criou um plano para acabar com as sacolas plásticas. Em 2007, o consumo era de 18 bilhões. O plano é tão perfeito que, a cada ano que passa, o consumo diminui exatamente na mesma quantidade, até zerar 9 anos depois. Nossa missão é descobrir qual é essa “quantidade de redução” anual para poder prever qual será o consumo no meio do caminho, especificamente no ano de 2011.
3.2 Estratégia Geral
Nosso plano de ataque tem três etapas:
- Primeiro, vamos extrair os dois pontos principais do gráfico e usar a forma geral y = a*x + b para descobrir a equação exata que representa essa reta.
- Depois, vamos “traduzir” o ano de 2011 para o valor de x correspondente no gráfico.
- Por fim, vamos substituir esse valor de x na equação que encontramos para achar o y (o consumo de sacolas).
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Vamos executar a nossa estratégia.
- 1. Encontrando a equação da reta (y = a*x + b):
- Análise do Gráfico: A reta passa por dois pontos claros:
- Ponto Inicial: Quando x = 0 (ano de 2007), y = 18. Nosso ponto é (0, 18).
- Ponto Final: Quando x = 9 (9 anos após 2007, ou seja, 2016), y = 0. Nosso ponto é (9, 0).
- Descobrindo o coeficiente ‘b’:
O ‘b’ é o valor de y quando x=0. Pelo ponto (0, 18), já sabemos que b = 18.
A equação já tem essa cara: y = a*x + 18. - Descobrindo o coeficiente ‘a’:
Agora, usamos o outro ponto, (9, 0), na equação que acabamos de encontrar. Substituímos y por 0 e x por 9.
0 = a9 + 18
-18 = 9a
a = -18 / 9
a = -2
(Isso significa que o consumo de sacolas diminui 2 bilhões por ano). - Equação Final: Juntando tudo, a equação que descreve o problema é y = -2*x + 18.
- Análise do Gráfico: A reta passa por dois pontos claros:
- 2. “Traduzindo” o ano de 2011 para o valor de ‘x’:
- O eixo x representa o número de anos após 2007.
- Para 2011, o número de anos que se passaram é:
x = 2011 – 2007
x = 4
- 3. Calculando o consumo em 2011:
- Agora pegamos a nossa equação (y = -2x + 18) e substituímos o x por 4.
- y = -2 * 4 + 18
- y = -8 + 18
- y = 10
4.2 Verificação Intermediária
O resultado é 10 bilhões de sacolas. Isso faz sentido? Sim. Começou em 18 bilhões. Como a redução é de 2 bilhões por ano, após 4 anos (2011), a redução total deveria ser de 4 * 2 = 8 bilhões. O consumo restante seria 18 – 8 = 10 bilhões. O cálculo está consistente.
4.3 Possível armadilha
A principal armadilha seria usar x = 2011 diretamente na equação, o que daria um resultado negativo e sem sentido. Você poderia ter se confundido e não ter percebido que o eixo x começa a contar do zero a partir de 2007. Outro erro seria calcular a = 2 (positivo), o que indicaria um aumento no consumo, contradizendo o gráfico.
4.4 Fechamento e expectativa
Nosso cálculo nos levou a um consumo de 10 bilhões de sacolas para o ano de 2011. Agora, vamos procurar a alternativa que corresponde a este valor.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) 4,0
B) 6,5
C) 7,0
D) 8,0
E) 10,0
5.2 Justificativa Individual
- (🔴) A) 4,0: Incorreta. Este é o valor de x que usamos para o cálculo, não o resultado final y.
- (🔴) B) 6,5: Incorreta. Não corresponde a um cálculo lógico a partir dos dados.
- (🔴) C) 7,0: Incorreta.
- (🔴) D) 8,0: Incorreta. Este valor corresponde à redução total do consumo até 2011 (18 – 10 = 8), mas não ao consumo restante.
- (🟢) E) 10,0: Correta. Este valor confere exatamente com o nosso cálculo para y quando x é igual a 4.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
O problema foi resolvido ao identificar a relação linear no gráfico, determinar a equação da reta (y = -2x + 18) usando os pontos inicial e final, calcular o valor de x para o ano de 2011 (x=4) e, por fim, substituir esse valor na equação para encontrar o consumo y.
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a E) 10,0.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Sempre que um gráfico apresentar uma linha reta, lembre-se da função do 1º grau: y = ax + b. O ‘b’ é o ponto de partida (onde corta o eixo y) e o ‘a’ é a taxa de variação (quanto sobe ou desce a cada passo no eixo x).
