Uma empresa de refrigerantes, que funciona sem interrupções, produz um volume constante de 1 800 000 cm³ de líquido por dia. A máquina de encher garrafas apresentou um defeito durante 24 horas. O inspetor de produção percebeu que o líquido chegou apenas à altura de 12 cm dos 20 cm previstos em cada garrafa. A parte inferior da garrafa em que foi depositado o líquido tem forma cilíndrica com raio da base de 3 cm. Por questões de higiene, o líquido já engarrafado não será reutilizado.
Utilizando π ≅ 3, no período em que a máquina apresentou defeito, aproximadamente quantas garrafas foram utilizadas?
A) 555
B) 5 555
C) 1 333
D) 13 333
E) 133 333
Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
Matemática (Geometria Espacial – Volume de Cilindro)
Tema/Objetivo Geral:
Cálculo de volume e aplicação em um problema prático de produção.
Nível da Questão:
Médio. A questão é considerada de nível médio pois exige a interpretação cuidadosa do enunciado para extrair os dados corretos (especialmente a altura do líquido), o conhecimento da fórmula do volume de um cilindro e a aplicação de uma divisão com números grandes para chegar ao resultado final.
Gabarito:
A alternativa correta é a B. Ela está correta porque, ao calcular o volume de líquido em uma única garrafa defeituosa (324 cm³) e dividir o volume total produzido no dia por esse valor, encontramos o número aproximado de 5.555 garrafas utilizadas.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“Utilizando π ≅ 3, no período em que a máquina apresentou defeito, aproximadamente quantas garrafas foram utilizadas?”
1.2 O que está sendo pedido?
O exercício quer saber o número total de garrafas que foram parcialmente enchidas durante as 24 horas em que a máquina de encher estava com defeito.
1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é determinar a quantidade de garrafas usadas, dividindo o volume total de refrigerante produzido pelo volume de líquido que foi colocado em cada garrafa individualmente.
1.4 Pergunta de Atenção
Você percebeu que o problema menciona duas alturas diferentes (12 cm e 20 cm)? Qual delas devemos usar para calcular o volume do líquido na garrafa?
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
Para resolver este problema, o conceito principal é o de volume de um cilindro.
- Cilindro: É uma figura geométrica espacial, como uma lata de refrigerante ou um cano. Ele tem duas bases circulares e paralelas e uma superfície lateral curva.
- Volume de um Cilindro: O volume representa o espaço que o cilindro ocupa. É calculado multiplicando-se a área de sua base (que é um círculo) pela sua altura.
- Fórmula: V = Área da Base * altura
- Como a base é um círculo, sua área é π * raio².
- Juntando tudo, a fórmula do volume do cilindro é: V = π * r² * h
- Termos da Fórmula:
- V: Volume, o espaço interno que o líquido ocupa.
- π (Pi): Uma constante matemática. O problema pede para usar o valor aproximado π ≅ 3.
- r (raio): A distância do centro da base circular até a sua borda. O problema informa que o raio é de 3 cm.
- h (altura): A “altura” do cilindro. Neste problema, é a altura que o líquido atinge dentro da garrafa, que é de 12 cm.
- Exemplo do cotidiano: Pense em empilhar moedas uma sobre a outra. A área de uma moeda é a “área da base”. A altura da pilha de moedas é a “altura”. O volume total da pilha é a área de uma moeda multiplicada pela altura da pilha. É a mesma lógica para o volume do cilindro.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Imagine uma fábrica de refrigerantes que produz um “piscinão” de 1.800.000 cm³ de líquido por dia. A máquina que enche as garrafas quebrou e, em vez de encher até a marca de 20 cm, só está colocando líquido até 12 cm de altura em cada garrafa. Como o líquido já engarrafado não pode ser reaproveitado, queremos saber quantas garrafas foram “desperdiçadas” com pouco líquido durante esse dia de defeito.
3.2 Estratégia Geral
O nosso plano de ataque tem dois passos principais:
- Primeiro, vamos calcular o volume de refrigerante que foi colocado em uma única garrafa defeituosa, usando a fórmula do volume do cilindro.
- Depois, vamos pegar o volume total de refrigerante produzido no dia e dividir pelo volume de uma garrafa para descobrir quantas garrafas foram usadas no total.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Vamos seguir nossa estratégia.
- 1. Calcular o volume de líquido em uma garrafa:
- Dados que vamos usar:
- π ≅ 3
- raio (r) = 3 cm
- altura do líquido (h) = 12 cm
- Fórmula:
Volume (garrafa) = π * r² * h - Substituindo os valores:
Volume (garrafa) = 3 * (3)² * 12 - Resolvendo a potência primeiro:
Volume (garrafa) = 3 * 9 * 12 - Multiplicando:
Volume (garrafa) = 27 * 12
Volume (garrafa) = 324 cm³
- Dados que vamos usar:
- 2. Calcular o número total de garrafas utilizadas:
- Dados que vamos usar:
- Volume total produzido = 1.800.000 cm³
- Volume por garrafa = 324 cm³
- Fórmula:
Número de Garrafas = Volume Total / Volume por Garrafa - Substituindo os valores:
Número de Garrafas = 1.800.000 / 324 - Realizando a divisão:
Número de Garrafas ≈ 5.555,55…
- Dados que vamos usar:
4.2 Verificação Intermediária
Até aqui, calculamos que cada garrafa recebeu 324 cm³ de líquido. Isso parece um volume razoável para uma porção de uma garrafa. O resultado final da divisão é um número quebrado, mas como o enunciado pede um valor aproximado, 5.555 é a resposta mais lógica.
4.3 Possível armadilha
A armadilha mais óbvia aqui seria usar a altura total prevista da garrafa (20 cm) em vez da altura real do líquido (12 cm). Você pode ter pensado: “a garrafa tem 20 cm de altura, então devo usar esse valor”. Porém, o problema é claro ao dizer que o líquido chegou apenas à altura de 12 cm. Se você usasse h = 20 cm, o cálculo do volume seria: V = 3 * 9 * 20 = 540 cm³, e o número de garrafas seria 1.800.000 / 540 = 3.333,33, o que levaria a uma alternativa incorreta.
4.4 Fechamento e expectativa
Nosso cálculo nos levou a um resultado de aproximadamente 5.555 garrafas. Agora, vamos verificar as alternativas para confirmar nossa resposta.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) 555
B) 5 555
C) 1 333
D) 13 333
E) 133 333
5.2 Justificativa Individual
- (🔴) A) 555: Incorreta. Este valor é dez vezes menor que o correto. Provavelmente resultado de um erro na divisão, talvez ao considerar o volume total como 180.000 em vez de 1.800.000.
- (🟢) B) 5 555: Correta. Confere com nosso cálculo de 1.800.000 dividido por 324, que resulta em aproximadamente 5.555.
- (🔴) C) 1 333: Incorreta. Não há um caminho de erro claro que leve a este resultado, indicando múltiplos erros de cálculo.
- (🔴) D) 13 333: Incorreta. Este valor poderia surgir de um erro de cálculo significativo, talvez dividindo o volume total por um volume de garrafa muito menor que o correto.
- (🔴) E) 133 333: Incorreta. Um número tão grande sugere um erro drástico na ordem de grandeza, como dividir o volume total por um número muito pequeno (por exemplo, 13,5 em vez de 324).
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
A solução foi encontrada calculando-se primeiro o volume de líquido contido em uma única garrafa defeituosa (V = π * r² * h) e, em seguida, dividindo-se o volume total de produção diária por este volume individual para achar o número de garrafas.
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a B) 5 555.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Em problemas de volume, preste muita atenção aos detalhes do enunciado. Use apenas as medidas que descrevem o espaço realmente ocupado, como a altura do líquido, e não necessariamente a altura total do recipiente.
