Grandes times nacionais e internacionais utilizam dados estatísticos para a definição do time que sairá jogando numa partida. Por exemplo, nos últimos treinos, dos chutes a gol feito pelo jogador I, ele converteu 45 chutes em gol. Enquanto isso, o jogador II acertou 50 gols. Quem deve ser selecionado para estar no time no próximo jogo, já que os dois jogam na mesma posição?
A decisão parece simples, porém deve-se levar em conta quantos chutes a gol cada um teve oportunidade de executar.
Se o jogador I chutou 60 bolas a gol e o jogador II chutou 75, quem deveria ser escolhido?
A) jogador I, porque acertou 3/4 dos chutes, enquanto o jogador II acertou 2/3 dos chutes.
B) O jogador I, porque acertou 4/3 dos chutes, enquanto o jogador II acertou 2/3 dos chutes.
C) O jogador I, porque acertou 3/4 dos chutes, enquanto o jogador II acertou 3/2 dos chutes.
D) O jogador I, porque acertou 12/25 dos chutes, enquanto o jogador II acertou 2/3 dos chutes.
E) O jogador I, porque acertou 9/25 dos chutes, enquanto o jogador II acertou 2/5 dos chutes.
Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
Matemática (Razão e Proporção, Simplificação de Frações, Comparação de Frações)
Tema/Objetivo Geral:
Análise comparativa de desempenho através de razões (frações).
Nível da Questão:
Médio. A questão é considerada de nível médio porque, embora os cálculos sejam simples, exige uma interpretação que vai além dos números absolutos. O aluno precisa compreender o conceito de eficiência (aproveitamento) e aplicá-lo, em vez de simplesmente escolher o jogador que marcou mais gols.
Gabarito:
A alternativa correta é a A. Ela está correta pois apresenta as frações de aproveitamento de cada jogador simplificadas corretamente (3/4 para o jogador I e 2/3 para o jogador II) e conclui que o jogador I deve ser escolhido por ter a maior taxa de acerto.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“Se o jogador I chutou 60 bolas a gol e o jogador II chutou 75, quem deveria ser escolhido?”
1.2 O que está sendo pedido?
O exercício pede para determinar qual dos dois jogadores tem o melhor desempenho, não com base no número total de gols, mas sim na proporção de gols marcados em relação ao total de chutes.
1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é calcular a taxa de aproveitamento (eficiência) de cada jogador, expressá-la como uma fração simplificada e, então, comparar essas frações para decidir qual jogador é a melhor escolha.
1.4 Pergunta de Atenção
Você acha que o jogador que fez mais gols é sempre o mais eficiente, mesmo que tenha tido mais oportunidades de chutar?
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
Para resolver este problema, precisamos dominar os seguintes conceitos:
- Razão: Uma razão é uma comparação entre duas grandezas, geralmente expressa na forma de uma fração. No nosso caso, queremos a razão entre o número de gols (parte) e o número total de chutes (todo).
- Fórmula: Razão de Aproveitamento = (Número de Gols) / (Total de Chutes)
- Fração: Representa uma parte de um todo. O número de cima é o numerador (a parte que temos) e o de baixo é o denominador (o todo).
- Simplificação de Frações: É o processo de reduzir o numerador e o denominador de uma fração aos seus menores valores inteiros possíveis, sem alterar o valor da fração. Para isso, dividimos ambos os números pelo seu Maior Divisor Comum (MDC).
- Exemplo do cotidiano: Dizer que você comeu “4 fatias de uma pizza de 8 pedaços” (4/8) é o mesmo que dizer que comeu “metade da pizza” (1/2). Simplificar a fração torna a informação mais clara.
- Comparação de Frações: Para saber qual fração é maior, podemos usar dois métodos:
- Converter para Decimal: Dividir o numerador pelo denominador. O maior número decimal corresponde à maior fração. (Ex: 3/4 = 0,75; 1/2 = 0,50. Logo, 3/4 > 1/2).
- Encontrar um Denominador Comum: Encontrar um múltiplo comum para os denominadores (usando o MMC), ajustar os numeradores proporcionalmente e então comparar apenas os numeradores.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
A questão nos coloca no papel de um técnico de futebol. Temos dois atacantes. Um fez 45 gols e o outro fez 50. À primeira vista, o de 50 gols parece melhor. Mas o problema nos dá uma informação crucial: o primeiro chutou 60 vezes e o segundo, 75. Agora, a pergunta é: quem é mais “certeiro”? Ou seja, quem aproveita melhor as chances que tem? Não queremos apenas um jogador que faz gols, mas um que desperdiça menos chutes.
3.2 Estratégia Geral
Nosso plano de ataque será:
- Montar a fração de “gols / chutes” para o Jogador I.
- Simplificar essa fração.
- Fazer o mesmo para o Jogador II: montar a fração e simplificá-la.
- Comparar as duas frações simplificadas para ver qual delas representa um maior aproveitamento.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Vamos calcular o aproveitamento de cada jogador.
- Análise do Jogador I:
- Gols marcados: 45
- Chutes totais: 60
- Montando a fração:
Aproveitamento = 45 / 60 - Simplificando a fração:
Podemos ver que tanto 45 quanto 60 são divisíveis por 5.
(45 / 5) / (60 / 5) = 9 / 12
Agora, vemos que 9 e 12 são divisíveis por 3.
(9 / 3) / (12 / 3) = 3 / 4
Então, o aproveitamento do Jogador I é de 3/4. Isso significa que, a cada 4 chutes, ele acerta 3.
- Análise do Jogador II:
- Gols marcados: 50
- Chutes totais: 75
- Montando a fração:
Aproveitamento = 50 / 75 - Simplificando a fração:
Podemos ver que tanto 50 quanto 75 são divisíveis por 25 (pense em moedas!).
(50 / 25) / (75 / 25) = 2 / 3
Então, o aproveitamento do Jogador II é de 2/3. Isso significa que, a cada 3 chutes, ele acerta 2.
4.2 Verificação Intermediária
Até aqui, temos o aproveitamento do Jogador I como 3/4 e o do Jogador II como 2/3. Para compará-los, podemos converter para decimal:
- Jogador I: 3 / 4 = 0,75 (ou 75% de acerto)
- Jogador II: 2 / 3 = 0,666… (ou aproximadamente 66,7% de acerto)
Fica claro que 0,75 é maior que 0,666…, então o Jogador I tem um desempenho superior.
4.3 Possível armadilha
A grande armadilha aqui é a intuição inicial. Olhar para os números brutos (50 gols > 45 gols) e tomar uma decisão precipitada. Você pode ter achado que o Jogador II era a escolha óbvia. Porém, a estatística nos força a analisar o contexto: ele precisou de muito mais chutes para atingir aquele número, sendo, no final, menos eficiente que o Jogador I.
4.4 Fechamento e expectativa
Nosso cálculo mostrou que o Jogador I tem um aproveitamento de 3/4, enquanto o Jogador II tem um aproveitamento de 2/3. Como 3/4 é maior que 2/3, o Jogador I deve ser o escolhido. Agora, vamos procurar a alternativa que reflete essa conclusão e apresenta as frações corretas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) jogador I, porque acertou 3/4 dos chutes, enquanto o jogador II acertou 2/3 dos chutes.
B) O jogador I, porque acertou 4/3 dos chutes, enquanto o jogador II acertou 2/3 dos chutes.
C) O jogador I, porque acertou 3/4 dos chutes, enquanto o jogador II acertou 3/2 dos chutes.
D) O jogador I, porque acertou 12/25 dos chutes, enquanto o jogador II acertou 2/3 dos chutes.
E) O jogador I, porque acertou 9/25 dos chutes, enquanto o jogador II acertou 2/5 dos chutes.
5.2 Justificativa Individual
- (🟢) A) jogador I, porque acertou 3/4 dos chutes, enquanto o jogador II acertou 2/3 dos chutes. Correta. Apresenta as frações simplificadas que calculamos (45/60 = 3/4 e 50/75 = 2/3) e faz a escolha correta, já que 3/4 é maior que 2/3.
- (🔴) B) O jogador I, porque acertou 4/3 dos chutes… Incorreta. A fração do Jogador I (4/3) está invertida. Seria chutes/gols, o que não faz sentido para medir aproveitamento e resultaria em um valor maior que 100%.
- (🔴) C) …enquanto o jogador II acertou 3/2 dos chutes. Incorreta. A fração do Jogador II (3/2) está invertida (chutes/gols).
- (🔴) D) O jogador I, porque acertou 12/25 dos chutes… Incorreta. A fração 12/25 é resultado de um erro de cálculo ou simplificação da razão 45/60.
- (🔴) E) O jogador I, porque acertou 9/25 dos chutes… Incorreta. Ambas as frações apresentadas para os jogadores estão erradas.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
Para determinar o jogador mais eficiente, calculamos a razão entre gols e chutes para cada um. Simplificamos as frações obtidas (45/60 para 3/4 e 50/75 para 2/3) e, ao compará-las, concluímos que o Jogador I possui uma taxa de acerto superior.
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a A) jogador I, porque acertou 3/4 dos chutes, enquanto o jogador II acertou 2/3 dos chutes.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Para comparar desempenhos de forma justa, use sempre a razão ou a taxa, não os números absolutos. A eficiência é a chave
