Questão 154 caderno azul ENEM 2010 PPL

Se pudéssemos reunir em esferas toda a água do planeta, os diâmetros delas seriam:

A razão entre o volume da esfera que corresponde à água doce superficial e o volume da esfera que corresponde à água doce do planeta é

A) 1/343

B) 1/49

C) 1/7

D) 29/136

E) 136/203

Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
Matemática (Geometria Espacial – Volume de Esfera, Razão e Proporção)

Tema/Objetivo Geral:
Cálculo da razão entre volumes de duas esferas a partir de seus diâmetros.

Nível da Questão:
Difícil. Esta questão é considerada difícil não pelo conceito em si (volume da esfera), mas pela necessidade de interpretar corretamente o infográfico, selecionar os dados corretos e, principalmente, pela percepção matemática necessária para simplificar a razão dos raios (203/29 = 7) antes de realizar a potenciação. O cálculo direto dos volumes resultaria em números muito grandes e difíceis de simplificar.

Gabarito:
A alternativa correta é a A. A resposta está correta porque a razão entre os volumes de duas esferas é igual ao cubo da razão entre seus raios. A razão dos raios é de 1/7, e elevando ao cubo (1/7)³, obtemos 1/343.

🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo

1.1 Transcrição Essencial
“A razão entre o volume da esfera que corresponde à água doce superficial e o volume da esfera que corresponde à água doce do planeta é”

1.2 O que está sendo pedido?
O exercício pede para calcular a fração que representa a relação entre o volume da esfera menor (água doce superficial) e o volume da esfera maior (água doce do planeta).

1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é encontrar a razão V1 / V2, onde V1 é o volume da esfera de água doce superficial e V2 é o volume da esfera de água doce do planeta.

1.4 Pergunta de Atenção
Você sabia que ao calcular a razão entre volumes de figuras semelhantes, como duas esferas, muitos termos da fórmula se cancelam, tornando o cálculo bem mais simples?

📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários

2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
Para resolver este problema, precisamos entender os seguintes conceitos geométricos:

Esfera: Uma figura geométrica tridimensional perfeitamente redonda, como uma bola de gude ou uma bola de futebol. Todos os pontos na superfície da esfera estão à mesma distância do centro.

Diâmetro (D): A distância de um ponto a outro da superfície da esfera, passando pelo centro. É a maior “largura” da esfera.

Raio (r): A distância do centro da esfera até qualquer ponto em sua superfície. O raio é sempre metade do diâmetro.
- Fórmula: r = D / 2

Volume da Esfera (V): É a medida do espaço interno da esfera.
- Fórmula: V = (4/3) * π * r³ (onde “r³” significa r * r * r)

Razão: É a divisão entre duas grandezas. Serve para comparar uma com a outra.
- Fórmula: Razão = Grandeza A / Grandeza B

📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema

3.1 Contextualização Simplificada
Imagine que pegamos toda a água doce do planeta e fizemos uma bola gigante. Depois, pegamos apenas a água doce de rios e lagos (superficial) e fizemos uma bolinha bem menor. A pergunta é: “quantas vezes o volume da bolinha pequena cabe dentro do volume da bola gigante?”. O resultado será uma fração.

3.2 Estratégia Geral
Nosso plano de ataque será:

Identificar no infográfico os diâmetros das duas esferas mencionadas: “Água doce superficial” e “Água doce do planeta”.
Calcular o raio de cada uma dessas esferas.
Montar a expressão da razão entre os volumes, usando a fórmula V = (4/3) * π * r³.
Simplificar a expressão (cancelando os termos iguais) e calcular o valor final.

🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos

4.1 Passo a Passo Detalhado
Vamos seguir o nosso plano.

1. Identificando os dados no infográfico:
- Esfera “Água doce superficial”: Diâmetro (D1) = 58 km
- Esfera “Água doce do planeta”: Diâmetro (D2) = 406 km

2. Calculando o raio de cada esfera:
- Raio da esfera superficial (r1):
  r1 = D1 / 2 = 58 / 2
  r1 = 29 km
- Raio da esfera de água doce do planeta (r2):
  r2 = D2 / 2 = 406 / 2
  r2 = 203 km

3. Montando a razão dos volumes:
- A razão que queremos é Volume1 / Volume2.
- Razão = [ (4/3) * π * (r1)³ ] / [ (4/3) * π * (r2)³ ]
- Substituindo os raios:
  Razão = [ (4/3) * π * (29)³ ] / [ (4/3) * π * (203)³ ]

4. Simplificando a expressão:
- Note que os termos (4/3) e π aparecem tanto no numerador quanto no denominador. Por isso, podemos cancelá-los.
  Razão = (29)³ / (203)³
- Podemos reescrever isso como:
  Razão = (29 / 203)³

5. Simplificando a fração antes de calcular a potência:
- Vamos verificar se 203 é divisível por 29.
  203 / 29 = 7
- Isso significa que 203 = 7 * 29. Agora podemos simplificar a fração:
  Razão = (29 / (7 * 29))³
- Cancelando o 29:
  Razão = (1 / 7)³

6. Calculando o resultado final:
- Agora, basta elevar a fração ao cubo:
  Razão = 1³ / 7³
  Razão = 1 / (7 * 7 * 7)
  Razão = 1 / (49 * 7)
  Razão = 1 / 343

4.2 Verificação Intermediária
Nossos cálculos mostram que a razão é de 1 para 343. Isso significa que o volume de toda a água doce do planeta é 343 vezes maior que o volume de água doce superficial. O resultado é uma fração pequena, o que faz sentido, já que a esfera da água superficial é visivelmente menor.

4.3 Possível armadilha
A maior armadilha aqui é tentar calcular 29³ (24.389) e 203³ (8.365.427) diretamente. Isso geraria números enormes e a simplificação da fração 24.389 / 8.365.427 seria extremamente difícil e demorada. A chave é perceber que a razão dos volumes é o cubo da razão dos raios e simplificar a razão dos raios antes de elevar ao cubo. Outra armadilha seria usar os diâmetros errados do infográfico, como o de “Toda água do planeta”.

4.4 Fechamento e expectativa
Chegamos ao resultado final de 1/343. Agora, vamos procurar essa fração nas alternativas.

✅ Passo 5: Análise das Alternativas

5.1 Listagem das Alternativas
A) 1/343
B) 1/49
C) 1/7
D) 29/136
E) 136/203

5.2 Justificativa Individual

(🟢) A) 1/343: Correta. Confere perfeitamente com nosso cálculo, que simplificou a razão dos raios (1/7) e a elevou ao cubo.
(🔴) B) 1/49: Incorreta. Este seria o resultado se a questão pedisse a razão entre as áreas da superfície das esferas (que é proporcional ao quadrado do raio, (1/7)²), ou se o aluno esquecesse de multiplicar por 7 uma última vez no cálculo de 7³.
(🔴) C) 1/7: Incorreta. Este é o valor da razão entre os raios (ou diâmetros), mas a questão pede a razão entre os volumes. Um erro comum é esquecer de elevar a razão dos raios ao cubo.
(🔴) D) 29/136: Incorreta. Este valor não corresponde a uma etapa lógica do cálculo. Provavelmente resulta da utilização de dados incorretos do infográfico, como misturar o raio da água superficial (29) com o raio da água subterrânea (272/2 = 136).
(🔴) E) 136/203: Incorreta. Da mesma forma, este valor provavelmente vem de um erro na leitura dos dados, comparando o raio da água subterrânea (136) com o da água doce do planeta (203).

🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final

6.1 Resumo do Raciocínio
Para encontrar a razão entre os volumes, primeiro determinamos os raios das esferas a partir dos seus diâmetros. Em seguida, montamos a razão dos volumes, cancelamos os termos constantes ((4/3)π), simplificamos a razão dos raios (29/203 = 1/7) e, por fim, elevamos essa razão ao cubo para obter o resultado.

6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a A) 1/343.

6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Lembre-se: a razão entre volumes de figuras semelhantes é o cubo da razão entre suas medidas lineares (raio, diâmetro, lado). Simplifique a razão das medidas lineares primeiro para evitar cálculos com números grandes