Para construir uma manilha de esgoto, um cilindro com 2 m de diâmetro e 4 m de altura (de espessura desprezível), foi envolvido homogeneamente por uma camada de concreto, contendo 20 cm de espessura.
Supondo que cada metro cúbico de concreto custe R$ 10,00 e tomando 3,1 como valor aproximado de π, então o preço dessa manilha é igual a
A) R$ 230,40.
B) R$ 124,00.
C) R$ 104,16.
D) R$ 54,56.
E) R$ 49,60.
Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Geometria espacial (cilindros), Aritmética (operações básicas de soma, subtração e multiplicação).
Tema/Objetivo Geral: Cálculo de volume de camada cilíndrica (diferença de volumes) e aplicação de custo por unidade de volume.
Nível da Questão: Médio – exige visualização espacial (cilindro com camada), uso da fórmula do volume e atenção às unidades de medida (metros e centímetros).
Gabarito: Alternativa D) R$ 54,56.
O volume de concreto é a diferença entre o cilindro maior (raio 1,2 m) e o menor (raio 1 m), resultando em 5,456 m³. Multiplicando por 10 reais, dá R$ 54,56.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial: “O preço dessa manilha é igual a…”.
1.2 O que está sendo pedido? O valor total a pagar pelo concreto usado.
1.3 Objetivo Cristalino: Calcular o volume da camada de concreto e multiplicar pelo preço unitário (R$ 10,00 por m³).
1.4 Pergunta de Atenção: Você lembrou de transformar os 20 cm de espessura em metros antes de somar ao raio?
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos:
- Cilindro: sólido com duas bases circulares e altura.
- Volume do cilindro: Volume = π * raio² * altura.
- Camada cilíndrica: quando há um cilindro externo e um interno, o volume da camada é:
Volume da camada = Volume externo – Volume interno. - Conversão de unidades: 20 cm = 0,2 m.
Exemplo do cotidiano: pense em um canudo grosso. O volume do material do canudo é a diferença entre o volume do cilindro grande (diâmetro externo) e o volume do vazio interno.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada:
Temos um cilindro (manilha) com raio interno de 1 m e altura de 4 m. Ele é recoberto por uma camada uniforme de concreto de 20 cm de espessura. Para saber o gasto, calculamos o volume de concreto usado nessa camada e multiplicamos pelo preço por metro cúbico.
3.2 Estratégia Geral:
- Calcular o volume do cilindro externo (raio 1 + 0,2 m).
- Calcular o volume do cilindro interno (raio 1 m).
- Fazer a diferença para obter o volume da camada.
- Multiplicar o volume pelo preço unitário (R$ 10 por m³).
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado:
- Raio interno = 1 m
- Raio externo = 1 + 0,2 = 1,2 m
- Altura = 4 m
- Volume externo = π * (1,2)² * 4
Volume externo = π * 1,44 * 4
Volume externo = π * 5,76
Volume externo = 5,76π
- Volume interno = π * (1)² * 4
Volume interno = π * 1 * 4
Volume interno = 4π
- Volume da camada = Volume externo – Volume interno
Volume = 5,76π – 4π
Volume = 1,76π
- Usando π ≈ 3,1:
Volume = 1,76 * 3,1
Volume = 5,456 m³
- Custo total = 5,456 * 10
Custo = R$ 54,56
4.2 Verificação Intermediária:
Diferença de volumes feita corretamente → 5,456 m³.
4.3 Possível armadilha:
Um erro comum seria usar o diâmetro em vez do raio (colocar 2 m no lugar de 1 m). Outro erro seria esquecer de transformar os 20 cm em metros (usar 20 em vez de 0,2).
4.4 Fechamento e Expectativa:
O cálculo do custo deu R$ 54,56. Agora, basta confirmar a alternativa correspondente.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas:
A) R$ 230,40
B) R$ 124,00
C) R$ 104,16
D) R$ 54,56
E) R$ 49,60
5.2 Justificativa Individual:
- A) 230,40 (🔴) → Muito alto. Provavelmente erro ao usar o diâmetro no lugar do raio (2,0 em vez de 1,0).
- B) 124,00 (🔴) → Cálculo incorreto, pode ter vindo de multiplicação parcial errada.
- C) 104,16 (🔴) → Próximo, mas ainda errado. Talvez tenha considerado altura ou raio errado.
- D) 54,56 (🟢) → Correto, exatamente o resultado encontrado.
- E) 49,60 (🔴) → Abaixo do valor. Erro de arredondamento ao usar π como 3,14 em vez de 3,1.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio:
Somamos a espessura ao raio, calculamos volumes externo e interno, subtraímos para obter a camada, multiplicamos pelo preço unitário e obtivemos R$ 54,56.
6.2 Gabarito Reafirmado:
Alternativa correta: D) R$ 54,56.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍:
Quando o problema fala em “camada de concreto”, pense sempre na diferença de volumes: volume externo – volume interno.
