A torre de Hanói é um jogo que tem o objetivo de mover todos os discos de uma haste para outra, utilizando o menor número possível de movimento, respeitando-se as regras.
As regras são:
1- um disco maior não pode ser colocado sobre um disco menor;
2- pode-se mover um único disco por vez;
3- um disco deve estar sempre em uma das três hastes ou em movimento.
Disponível em: http://www.realidadevirtual.com.br. Acesso em: 28 abr. 2010 (adaptado).
Disponível em: http://www.imeusp.br. Acesso em: 28 abr. 2010 (adaptado).
Usando a torre de Hanói e baseando-se nas regras do jogo, podemos montar uma tabela entre o número de peças (X) e o número mínimo de movimentos (Y):
A relação entre (X) e (Y) é
A) Y = 2X – 1
B) Y = 2X – 1
C) Y = 2X
D) Y = 2X – 1
E) Y = 2X – 4
Matérias Necessárias para a Solução da Questão (apenas o essencial)
Matemática discreta, potenciação, funções exponenciais simples.
Tema/Objetivo Geral:
Encontrar a fórmula que relaciona o número de discos (X) com o número mínimo de movimentos (Y) na Torre de Hanói.
Nível da Questão:
Médio. Apesar de o cálculo ser simples substituindo valores, exige reconhecimento de padrão e testes com potências para chegar à função correta.
Gabarito (fornecido por você):
A) Y = 2^X – 1.
Correto porque a tabela confirma: para X=4, o número mínimo de movimentos é 15, e 2^4 – 1 = 16 – 1 = 15.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“Podemos montar uma tabela entre o número de peças (X) e o número mínimo de movimentos (Y)… A relação entre (X) e (Y) é…”
1.2 O que está sendo pedido?
Determinar qual expressão matemática descreve a relação entre discos (X) e movimentos (Y).
1.3 Objetivo Cristalino
Identificar a fórmula que gera corretamente todos os números da tabela: 1, 3, 7, 15….
1.4 Pergunta de Atenção
Você lembra que a cada disco novo, a quantidade de movimentos praticamente dobra mais um?
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
- Potenciação: quando repetimos multiplicações de um mesmo número. Por exemplo, 2^3 = 2 * 2 * 2 = 8.
- Função exponencial: relação em que a variável está no expoente, comum em padrões de crescimento.
- Sequência da Torre de Hanói: a cada disco adicionado, o número de movimentos dobra o anterior e soma 1.
Exemplo prático:
1 disco → 1 movimento
2 discos → 3 movimentos (21 +1)
3 discos → 7 movimentos (23 +1)
4 discos → 15 movimentos (2*7 +1)
Padrão percebido: Y = 2^X – 1.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Temos uma brincadeira com três hastes e vários discos. Toda vez que adicionamos um disco, a tarefa fica quase o dobro mais difícil: é preciso refazer todos os movimentos anteriores e ainda deslocar o novo disco. Queremos encontrar a fórmula exata desse padrão.
3.2 Estratégia Geral
- Observar os valores da tabela e perceber o padrão.
- Testar cada alternativa com o valor conhecido X=4, Y=15.
- Confirmar qual expressão gera esse resultado.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Testando A) Y = 2^X – 1:
Y = 2^4 – 1
Y = 16 – 1
Y = 15 (confere com a tabela).
Testando B) Y = 2^(X – 1):
Y = 2^(4 – 1)
Y = 2^3 = 8 (não confere).
Testando C) Y = 2^X:
Y = 2^4 = 16 (não confere).
Testando D) Y = 2X – 1:
Y = 2*4 – 1
Y = 8 – 1 = 7 (não confere).
Testando E) Y = 2X – 4:
Y = 2*4 – 4
Y = 8 – 4 = 4 (não confere).
4.2 Verificação Intermediária
Se aplicarmos a fórmula A para outros casos:
X=1 → 2^1 – 1 = 1 (bate)
X=2 → 2^2 – 1 = 3 (bate)
X=3 → 2^3 – 1 = 7 (bate).
4.3 Possível armadilha
Alguns podem achar que basta dobrar o número de discos: 2*X, mas o crescimento é exponencial, não linear. Outra armadilha é esquecer do –1 no final: sem ele, o valor fica sempre 1 unidade a mais.
4.4 Fechamento e expectativa
Ficou claro que a única expressão que encaixa nos quatro pares de valores da tabela é Y = 2^X – 1.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) Y = 2^X – 1
B) Y = 2^(X – 1)
C) Y = 2^X
D) Y = 2X – 1
E) Y = 2X – 4
5.2 Justificativa Individual
- A) Y = 2^X – 1 (🟢)
Correta: gera todos os valores da tabela, inclusive 15 quando X=4. - B) Y = 2^(X – 1) (🔴)
Dá 8 para X=4, bem abaixo de 15. - C) Y = 2^X (🔴)
Dá 16 para X=4, um a mais que o necessário. - D) Y = 2X – 1 (🔴)
Gera 7 para X=4, padrão muito abaixo do esperado; é linear, não exponencial. - E) Y = 2X – 4 (🔴)
Para X=4 gera 4, completamente fora do padrão.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
Identificamos o padrão: cada disco dobra o trabalho anterior e acrescenta mais um movimento. Substituindo X=4 confirmamos o resultado 15, exatamente como na tabela.
6.2 Gabarito Reafirmado
A) Y = 2^X – 1.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
(💡) Na Torre de Hanói, a fórmula do menor número de movimentos é sempre 2^n – 1. Memorize: “dobrar e somar um”.
