Em uma cidade, a cada inauguração de prédios, a orientação da prefeitura, por meio de uma lei de incentivo à cultura, é a construção de uma obra de arte na entrada ou no hall desse prédio. Em contrapartida, a prefeitura oferece abatimento em impostos. No edifício das Acácias, o artista contratado resolveu fazer um quadro composto de 12 mosaicos, de dimensões de 12 cm por 6 cm cada um, conforme a figura.
A área da figura sombreada do quadro é de
A) 36 cm² .
B) 72 cm² .
C) 144 cm² .
D) 288 cm² .
E) 432 cm² .
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Plana
- Cálculo de Área de Retângulos e Losangos
- Interpretação de Figuras Geométricas
Tema/Objetivo Geral: Cálculo de área de uma figura composta por subtração de áreas.
Nível da Questão
Médio – A questão exige mais do que a simples aplicação de uma fórmula. É preciso interpretar a figura, deduzir as dimensões das formas geométricas a partir da grade de mosaicos e, crucialmente, perceber que a solução mais simples envolve a subtração de duas áreas. Essa necessidade de visualização e estratégia eleva o nível de dificuldade de “fácil” para “médio”.
Gabarito
C) 144 cm². – A alternativa está correta porque a área sombreada é o resultado da subtração da área do losango interno (branco) da área do losango externo (contorno total da figura), resultando em 432 cm² – 288 cm² = 144 cm².
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“A área da figura sombreada do quadro é de”
1.2 O que está sendo pedido?
O exercício pede para calcularmos a área total das partes cinzas (sombreadas) do mosaico.
1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é encontrar o valor exato, em centímetros quadrados (cm²), correspondente à superfície da região sombreada.
1.4 Pergunta de Atenção
Você percebeu que a área sombreada parece uma “moldura”? Em geometria, calcular a área de uma moldura é quase sempre mais fácil subtraindo a área do “miolo” da área total. Essa é a grande dica!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
Para resolver esta questão, precisamos dominar dois conceitos principais:
- Área por Subtração: É uma estratégia para calcular a área de formas complexas. Em vez de medir a forma diretamente, calculamos a área de uma figura maior que a contém e subtraímos as áreas das “partes que não queremos”.
- Exemplo do cotidiano: Pense em uma pizza com um buraco no meio. Para saber quanta pizza você tem, você calcula a área da pizza inteira e subtrai a área do buraco. O que sobra é a área da parte que você pode comer.
- Área de um Losango: O losango é um quadrilátero com quatro lados iguais. Sua área é calculada usando o comprimento de suas duas diagonais (a linha que liga os cantos opostos).
- Fórmula: Área = (Diagonal maior * Diagonal menor) / 2
- A = (D * d) / 2
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Vamos “mastigar” a situação: temos um quadro retangular formado por 12 pequenas peças. O desenho cinza é a nossa “obra de arte”. A forma mais inteligente de medir a área dessa arte cinza é pensar em duas figuras:
- Um losango gigante que cobre tanto a parte cinza quanto a parte branca no meio.
- Um losango menor, que é exatamente a parte branca do meio.
A área cinza é simplesmente a área do losango gigante menos a área do losango branco.
3.2 Estratégia Geral
Nosso plano de ataque será:
- Calcular as dimensões totais do quadro para descobrir as diagonais do losango maior.
- Calcular a área do losango maior.
- Descobrir as diagonais do losango menor (a parte branca).
- Calcular a área do losango menor.
- Subtrair a área menor da maior para encontrar a área sombreada.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
1. Determinando as dimensões do quadro e do Losango Maior:
O quadro é composto por 12 mosaicos de 12 cm por 6 cm.
- Largura do quadro: Há 6 mosaicos na horizontal, cada um com 6 cm de largura.
Largura Total = 6 * 6 cm = 36 cm. - Altura do quadro: Há 2 mosaicos na vertical, cada um com 12 cm de altura.
Altura Total = 2 * 12 cm = 24 cm.
O losango maior (externo) ocupa todo o quadro. Suas diagonais são a largura e a altura totais. - Diagonal Maior (D1) = 36 cm
- Diagonal Menor (d1) = 24 cm
2. Calculando a Área do Losango Maior:
Área_Maior = (D1 * d1) / 2
Área_Maior = (36 * 24) / 2
Área_Maior = 864 / 2
Área_Maior = 432 cm²
3. Determinando as dimensões do Losango Menor (parte branca):
Observando a figura, o losango branco interno tem:
- Sua diagonal vertical: Ocupa a altura total do quadro.
Diagonal Maior (D2) = 24 cm. - Sua diagonal horizontal: Ocupa a largura dos 4 mosaicos centrais.
Diagonal Menor (d2) = 4 * 6 cm = 24 cm.
4. Calculando a Área do Losango Menor:
Área_Menor = (D2 * d2) / 2
Área_Menor = (24 * 24) / 2
Área_Menor = 576 / 2
Área_Menor = 288 cm²
5. Calculando a Área Sombreada:
Área_Sombreada = Área_Maior – Área_Menor
Área_Sombreada = 432 – 288
Área_Sombreada = 144 cm²
4.2 Verificação Intermediária
Até aqui, calculamos a área total delimitada pelo contorno externo (432 cm²) e a área da parte interna não sombreada (288 cm²). A diferença entre elas nos deu 144 cm².
4.3 Possível armadilha
As armadilhas mais comuns seriam:
- Responder com a área do losango menor (288 cm²).
- Responder com a área do losango maior (432 cm²).
- Tentar calcular a área de cada um dos quatro triângulos sombreados separadamente, o que seria muito mais trabalhoso e com maior chance de erro.
4.4 Fechamento e expectativa
Nosso cálculo, utilizando a estratégia de subtração de áreas, nos levou a um resultado final de 144 cm². Agora, vamos verificar se esse valor corresponde a uma das alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) 36 cm².
B) 72 cm².
C) 144 cm².
D) 288 cm².
E) 432 cm².
5.2 Justificativa Individual
- A) 36 cm² (🔴) Incorreta. Este valor não corresponde a nenhum cálculo lógico derivado do problema.
- B) 72 cm² (🔴) Incorreta. Este valor é metade da resposta correta. Poderia ser o resultado de um erro de cálculo, como dividir o resultado final por 2.
- C) 144 cm² (🟢) Correta. Corresponde exatamente à diferença entre a área do losango maior (432 cm²) e a do losango menor (288 cm²).
- D) 288 cm² (🔴) Incorreta. Este é o valor da área do losango interno branco, não da área sombreada. É um distrator clássico.
- E) 432 cm² (🔴) Incorreta. Este é o valor da área do losango externo total (sombreado + branco), não apenas da parte sombreada. Outro distrator comum.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
A solução foi encontrada ao visualizar a figura sombreada como a diferença entre dois losangos. Calculamos a área de cada um a partir das dimensões da grade de mosaicos e subtraímos a área do menor (interno) da área do maior (externo).
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a C) 144 cm².
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Para encontrar a área de figuras que parecem “molduras” ou têm “buracos”, a estratégia mais eficaz é quase sempre a subtração de áreas: calcule a área da figura externa e subtraia a área da figura interna.
