Questão 165 caderno cinza ENEM 2011 PPL

Um curso preparatório oferece aulas de 8 disciplinas distintas. Um aluno, ao se matricular, escolhe de 3 a 8 disciplinas para cursar. O preço P, em reais, da mensalidade é calculado pela fórmula

onde n é o número de disciplinas escolhidas pelo aluno.

Alex deseja matricular seu filho Júlio e, consultando seu orçamento familiar mensal, avaliou que poderia pagar uma mensalidade de, no máximo, R$ 720,00.

O número máximo de disciplinas que Júlio poderá escolher ao se matricular nesse curso, sem estourar o orçamento familiar, é igual a

A) 3.

B) 4.

C) 6.

D) 7.

E) 8.

Matérias Necessárias para a Solução da Questão

Equações do 1º Grau (com a variável no denominador)
Interpretação de Fórmulas e Enunciados
Raciocínio Lógico

Tema/Objetivo Geral: Aplicação de uma fórmula matemática para resolver um problema de otimização com restrição orçamentária.

Nível da Questão
Médio – A manipulação algébrica para isolar a variável ‘n’ é relativamente simples. No entanto, a questão se torna de nível médio devido à etapa final de interpretação: o resultado da equação é um número não inteiro (6,46), exigindo que o aluno analise a relação entre as variáveis (mais disciplinas = mais caro) para decidir qual número inteiro é a resposta correta, em vez de simplesmente arredondar.

Gabarito
C) 6. – A alternativa está correta. Ao resolver a equação para um preço de R$ 720,00, encontra-se que o número de disciplinas seria aproximadamente 6,46. Como um número maior de disciplinas aumenta o preço, 7 disciplinas ultrapassariam o orçamento. Portanto, o máximo de disciplinas que Júlio pode cursar é 6.

🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo

1.1 Transcrição Essencial
“O número máximo de disciplinas que Júlio poderá escolher ao se matricular nesse curso, sem estourar o orçamento familiar, é igual a…”

1.2 O que está sendo pedido?
O exercício pede para encontrarmos a maior quantidade inteira de disciplinas (n) que resulta em uma mensalidade (P) menor ou igual a R$ 720,00.

1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é usar a fórmula fornecida, substituir o valor máximo do preço (P = 720) e resolver a equação para encontrar o número limite de disciplinas (n), interpretando o resultado para chegar à resposta final.

1.4 Pergunta de Atenção
Você se lembrou que o número de disciplinas precisa ser um número inteiro? O que fazer se a conta resultar em um número “quebrado”, como 6,5? A resposta não é simplesmente arredondar!

📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários

2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos

Para resolver esta questão, precisamos entender:

Equação do 1º Grau: É uma expressão matemática que estabelece uma igualdade entre termos, onde a incógnita (a letra que queremos descobrir, no nosso caso ‘n’) tem expoente 1. O objetivo é “isolar a variável”, ou seja, deixá-la sozinha de um lado da igualdade.

Função Inversamente Proporcional (dentro da fórmula): A fórmula P(n) = 980 – 1680/n tem um comportamento interessante. Observe o termo 1680/n. À medida que n (o número de disciplinas) aumenta, o valor da fração 1680/n diminui. Como estamos subtraindo esse valor de 980, a mensalidade P na verdade aumenta.
- Exemplo prático:
  - Se n = 4, P = 980 – (1680/4) = 980 – 420 = R$ 560.
  - Se n = 5, P = 980 – (1680/5) = 980 – 336 = R$ 644.

Conclusão importante: Mais disciplinas (n maior) levam a uma mensalidade mais cara (P maior).
Inequação: Embora possamos resolver com uma equação, o problema é, na verdade, uma inequação: queremos que o preço seja no máximo 720, ou seja, P(n) ≤ 720. Resolver a equação P(n) = 720 nos dá o ponto exato de limite.

📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema

3.1 Contextualização Simplificada
Vamos “mastigar” o problema: o curso tem uma fórmula maluca para o preço. Quanto mais matérias o aluno pega, mais caro fica. O pai do Júlio, Alex, olhou a carteira e disse: “Filho, só podemos pagar até R$ 720,00 por mês”. A pergunta é: qual é o número máximo de matérias que o Júlio pode escolher sem que o pai precise vender o carro?

3.2 Estratégia Geral
Nosso plano de ataque será:

Pegar a fórmula do preço: P(n) = 980 – 1680/n.
Substituir P(n) pelo teto do orçamento, que é 720.
Resolver a equação para encontrar o valor de n que resulta exatamente nesse preço.
Analisar o resultado e, com base na relação “mais disciplinas = mais caro”, decidir qual o número máximo de disciplinas inteiras que se encaixam no orçamento.

🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos

4.1 Passo a Passo Detalhado

1. Montar a equação:
Vamos usar a fórmula e o valor máximo do orçamento:
720 = 980 – 1680/n

2. Isolar o termo com a variável ‘n’:
Vamos passar o termo – 1680/n para o lado esquerdo (trocando o sinal) e o 720 para o lado direito (trocando o sinal).
1680/n = 980 – 720

3. Simplificar a equação:
1680/n = 260

4. Isolar a variável ‘n’:
Agora, podemos trocar ‘n’ e ‘260’ de lugar (uma propriedade da proporção).
n = 1680 / 260

5. Calcular o valor de ‘n’:
Dividindo 1680 por 260:
n ≈ 6,46

6. Interpretar o resultado:
O que n = 6,46 significa? Significa que, para pagar exatamente R$ 720,00, Júlio precisaria cursar 6,46 disciplinas, o que é impossível.
Sabemos que quanto mais disciplinas, mais caro. Então:

Se com 6,46 disciplinas o preço é R$ 720,
Com 7 disciplinas, o preço será maior que R$ 720.
Com 6 disciplinas, o preço será menor que R$ 720.

Vamos verificar:

Para n = 6: P(6) = 980 – (1680 / 6) = 980 – 280 = R$ 700,00. (Cabe no orçamento)
Para n = 7: P(7) = 980 – (1680 / 7) = 980 – 240 = R$ 740,00. (Estoura o orçamento)

Portanto, o número máximo de disciplinas que ele pode escolher é 6.

4.2 Verificação Intermediária
Nossa interpretação e os cálculos de teste confirmam que 6 disciplinas custam R$ 700 (dentro do limite) e que 7 disciplinas custam R$ 740 (acima do limite). A lógica está correta.

4.3 Possível armadilha
A armadilha mais comum é o arredondamento automático. Alguém poderia ver 6,46 e pensar em arredondar para o inteiro mais próximo (que é 6), mas sem entender o porquê. Pior ainda, outra pessoa poderia pensar em arredondar para cima (para 7), o que levaria à resposta errada. A chave é não arredondar, mas sim interpretar o limite.

4.4 Fechamento e expectativa
Concluímos que 6 é o número máximo de disciplinas que Júlio pode cursar. Agora, vamos encontrar essa resposta nas alternativas.

✅ Passo 5: Análise das Alternativas

5.1 Listagem das Alternativas
A) 3.
B) 4.
C) 6.
D) 7.
E) 8.

5.2 Justificativa Individual

A) 3. (🔴) Incorreta. Cursar 3 disciplinas é possível (o preço seria P(3) = 980 – 1680/3 = R$ 420), mas não é o máximo que ele pode cursar.
B) 4. (🔴) Incorreta. Cursar 4 disciplinas também é possível (P(4) = R$ 560), mas ainda não é o máximo.
C) 6. (🟢) Correta. Como calculado, o preço para 6 disciplinas é de R$ 700.
D) 7. (🔴) Incorreta. O preço para 7 disciplinas é de R$ 740,00, o que ultrapassa o orçamento.
E) 8. (🔴) Incorreta. O preço para 8 disciplinas seria ainda maior (P(8) = R$ 770), estourando o orçamento.

🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final

6.1 Resumo do Raciocínio
Substituímos o valor máximo da mensalidade (R$ 720) na fórmula de preço, resolvemos a equação para encontrar o valor limite de n (≈ 6,46) e, ao interpretar que um número maior de disciplinas aumenta o custo, concluímos que o máximo de disciplinas inteiras que cabem no orçamento é 6.

6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a C) 6.

6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Quando a solução de um problema com contexto real resulta em um número decimal, não arredonde por instinto! Analise a relação entre as variáveis para entender se você deve escolher o número inteiro imediatamente abaixo ou acima do seu resultado.