Uma cidade possui um reservatório de água C1 na forma de um cilindro circular reto, com 5 metros de altura e capacidade para 100 m³ de água. Foi construído outro reservatório C2 , com o mesmo formato do anterior, com a mesma altura, cujo raio da base é o dobro de C1 .
Nessas condições, a razão entre os volumes de C1 e de C2 é igual a
A) 2
B) 1
C) 1/2
D) 1/4
E) 1/8
Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
Geometria espacial (volume de cilindro); Raciocínio proporcional.
Tema/Objetivo Geral:
Cálculo de volume de cilindros e comparação de volumes (razões).
Nível da Questão: Fácil — porque pede aplicação direta da fórmula do volume do cilindro e uma substituição simples (raio duplicado), sem manipulações algébricas complexas ou interpretação adicional.
Gabarito: Alternativa D.
Como o volume do cilindro varia com o quadrado do raio (V = π r² h) e C2 tem raio duas vezes maior que C1, o volume de C2 é 4 vezes o de C1; portanto a razão V1:V2 = 1:4 = 1/4.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“Nessas condições, a razão entre os volumes de C1 e de C2 é igual a …”
1.2 O que está sendo pedido?
Determinar a razão V1 : V2 entre os volumes dos dois reservatórios.
1.3 Objetivo Cristalino
Encontrar o valor numérico da razão V1/V2 (uma fração ou número).
1.4 Pergunta de Atenção
Você lembra que o volume do cilindro depende do quadrado do raio e não apenas do raio?
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
- Volume do cilindro: V = π * r² * h
- r = raio da base (m)
- h = altura (m)
- π ≈ 3,14159 (constante)
- Observação importante: Se a altura h é igual nos dois cilindros, a razão dos volumes depende apenas da razão dos quadrados dos raios: V1/V2 = (r1²)/(r2²).
Exemplo cotidiano: dobrar o raio de um balde cilíndrico aumenta muito mais o volume do que dobrar apenas a altura — porque o raio entra ao quadrado.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Temos dois reservatórios cilíndricos com mesma altura (5 m). O segundo tem raio duas vezes o do primeiro. Queremos comparar quanto cabe em cada um, ou seja, a razão entre seus volumes.
3.2 Estratégia Geral
- Escrever a fórmula do volume para cada reservatório: V1 = π r1² h e V2 = π r2² h.
- Substituir r2 = 2 r1.
- Calcular V2 em termos de r1 e comparar com V1 para obter a razão V1/V2.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Volume do cilindro C1:
V1 = π * r1² * h
Volume do cilindro C2:
V2 = π * r2² * h
Como o enunciado dá r2 = 2 · r1, substituímos em V2:
V2 = π * (2 · r1)² * h
Calcule o quadrado:
(2 · r1)² = 2² * r1² = 4 * r1²
Portanto:
V2 = π * 4 * r1² * h
V2 = 4 * (π * r1² * h)
Mas π * r1² * h = V1, então:
V2 = 4 * V1
Logo a razão pedida:
V1 : V2 = V1 : (4 · V1) = 1 : 4
Convertendo para fração:
V1/V2 = 1/4
4.2 Verificação Intermediária
Cheque numérico rápido usando a capacidade informada (apenas como confirmação, não necessário para a razão):
Dado V1 = 100 m³ e h = 5 m, temos:
100 = π * r1² * 5
r1² = 100 / (5π) = 20 / π
r1 ≈ √(20/π) ≈ 2,52 m (aprox.)
Então r2 ≈ 5,04 m; V2 = π * (5,04)² * 5 ≈ 400 m³ → realmente 4 · 100 = 400 (confirmação numérica).
4.3 Possível armadilha
Um erro comum é pensar que duplicar o raio duplica o volume — não: duplicar o raio multiplica o volume por 2² = 4. Lembre-se: raio entra ao quadrado na fórmula do volume.
4.4 Fechamento e expectativa
Esperamos encontrar entre as alternativas a fração 1/4 como razão V1/V2; é exatamente isso que aparece na alternativa D.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) 2
B) 1
C) 1/2
D) 1/4
E) 1/8
5.2 Justificativa Individual
A) A) 2 — (🔴 Errada)
Por que falha: Indica que V1 é o dobro de V2, o que contradiz V2 = 4·V1.
Como estaria certa: Se r2 fosse menor que r1 — por exemplo, se r2 = r1/√2, então V1/V2 = 2. (ou seja, essa alternativa só seria correta em outra configuração de raios).
B) B) 1 — (🔴 Errada)
Por que falha: Diz que os volumes são iguais; isso seria verdade somente se r2 = r1 (ou se outro ajuste compensasse a diferença), mas enunciado diz r2 = 2·r1.
Como estaria certa: Se ambos os reservatórios tivessem o mesmo raio (r2 = r1) e mesma altura, então a razão seria 1.
C) C) 1/2 — (🔴 Errada)
Por que falha: Indica que V2 seria o dobro de V1; na realidade V2 = 4·V1.
Como estaria certa: Se r2 = √2 · r1 (aprox. 1,414·r1), então V2 = (√2)² · V1 = 2·V1 e a razão V1/V2 = 1/2.
D) D) 1/4 — (🟢 Correta)
Por que acerta: Como mostrado, V2 = π (2r1)² h = 4·π r1² h = 4·V1, então V1/V2 = 1/4. Confere com o passo a passo.
E) E) 1/8 — (🔴 Errada)
Por que falha: Implicaria que V2 = 8·V1, o que exigiria r2 = √8 · r1 ≈ 2,828·r1 (ou outra mudança nas dimensões).
Como estaria certa: Se o raio de C2 fosse aproximadamente 2,828 vezes o raio de C1, então V2 seria 8 vezes V1.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
O volume do cilindro é proporcional ao quadrado do raio; duplicando o raio, o volume aumenta por 2² = 4, logo V2 = 4·V1 e V1/V2 = 1/4.
6.2 Gabarito Reafirmado
Alternativa D (1/4).
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Dica curta: Quando uma dimensão linear é multiplicada por k, volumes que dependem do quadrado dessa dimensão mudam por k² (no caso do raio do cilindro: multiplicador ao quadrado).
