Uma indústria fabrica um único tipo de produto e sempre vende tudo o que produz. O custo total para fabricar uma quantidade q de produtos é dado por uma função, simbolizada por CT, enquanto o faturamento que a empresa obtém com a venda da quantidade q também é uma função, simbolizada por FT. O lucro total (LT) obtido pela venda da quantidade q de produtos é dado pela expressão LT(q) = FT(q) – CT(q).
Considerando-se as funções FT(q) = 5q e CT(q) = 2q + 12 como faturamento e custo, qual a quantidade mínima de produtos que a indústria terá de fabricar para não ter prejuízo?
A) 0
B) 1
C) 3
D) 4
E) 5
Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
Funções lineares, inequações do 1º grau, interpretação de lucro (receita − custo).
Tema/Objetivo Geral:
Determinar a quantidade mínima de produtos q para que o lucro seja não negativo (FT(q) − CT(q) ≥ 0).
Nível da Questão:
Fácil. Trata-se de manipular funções lineares simples e resolver uma inequação linear básica; não há passos algébricos complexos nem interpretações ambíguas.
Gabarito:
Alternativa D. Porque ao impor FT(q) ≥ CT(q) e resolver 5q ≥ 2q + 12 obtemos q ≥ 4; a menor quantidade inteira não negativa que satisfaz é 4.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“Considerando-se as funções FT(q) = 5q e CT(q) = 2q + 12 como faturamento e custo, qual a quantidade mínima de produtos que a indústria terá de fabricar para não ter prejuízo?”
1.2 O que está sendo pedido?
Encontrar o menor valor de q (quantidade de produtos) tal que o lucro LT(q) = FT(q) − CT(q) seja maior ou igual a zero.
1.3 Objetivo Cristalino
Determinar o conjunto de valores q que satisfazem 5q − (2q + 12) ≥ 0 e, a partir dele, identificar a menor quantidade inteira não negativa.
1.4 Pergunta de Atenção
Você lembrou que “não ter prejuízo” significa lucro ≥ 0 e que devemos resolver a inequação corretamente antes de testar as alternativas?
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
Faturamento FT(q): dinheiro recebido = 5q.
Custo Total CT(q): gastos para produzir = 2q + 12.
Lucro LT(q): LT(q) = FT(q) − CT(q).
Condição para não ter prejuízo: LT(q) ≥ 0 → FT(q) ≥ CT(q).
Inequação linear: resolver 5q ≥ 2q + 12 usando operações inversas (subtração e divisão).
Exemplo cotidiano: se cada unidade rende R$5 e custa R$2 mais R$12 fixos, precisamos vender certo mínimo para cobrir os R$12.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Temos receita por unidade (5 por produto) e custo que combina variável (2 por produto) mais custo fixo (12). Queremos quantas unidades produzir no mínimo para que a receita cubra os custos (lucro ≥ 0).
3.2 Estratégia Geral
- Impor FT(q) ≥ CT(q).
- Subtrair termos semelhantes para isolar q.
- Resolver a desigualdade e interpretar o resultado (menor q inteiro admissível).
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
LT(q) = FT(q) − CT(q)
Queremos LT(q) ≥ 0, portanto:
FT(q) ≥ CT(q)
Substituindo as funções dadas:
5q ≥ 2q + 12
Isolando q (subtraindo 2q de ambos os lados):
5q − 2q ≥ 12
Simplificando:
3q ≥ 12
Dividindo ambos os lados por 3:
q ≥ 12 / 3
q ≥ 4
4.2 Verificação Intermediária
Testando q = 4:
FT(4) = 5 * 4 = 20
CT(4) = 2 * 4 + 12 = 8 + 12 = 20
LT(4) = 20 − 20 = 0 → sem prejuízo (empate).
Para q > 4, LT(q) > 0 (lucro positivo). Para q < 4, LT(q) < 0 (prejuízo).
4.3 Possível armadilha
Confundir “não ter prejuízo” com “ter lucro positivo”: a menor q aceitável é aquele que dá lucro ≥ 0, então q = 4 (lucro zero) já é suficiente. Outro erro seria esquecer o custo fixo 12 ao isolar q.
4.4 fechamento e expectativa
Resultado da inequação: q ≥ 4. Logo a quantidade mínima inteira que evita prejuízo é 4 — procurar a alternativa que apresenta esse valor.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) 0
B) 1
C) 3
D) 4
E) 5
5.2 Justificativa Individual
A) 0 — 🔴 Errada. Se q = 0, FT(0) = 0 e CT(0) = 12, logo LT(0) = −12 (prejuízo). Seria correta apenas se o custo fixo fosse zero.
B) 1 — 🔴 Errada. Se q = 1, FT(1) = 5 e CT(1) = 14, logo LT(1) = −9 (prejuízo). Errada porque não atende 5q ≥ 2q + 12.
C) 3 — 🔴 Errada. Se q = 3, FT(3) = 15 e CT(3) = 18, LT(3) = −3 (prejuízo). Q = 3 não satisfaz q ≥ 4.
D) 4 — 🟢 Correta. Se q = 4, FT(4) = 20 e CT(4) = 20, LT(4) = 0 (sem prejuízo). É o menor q que satisfaz a inequação.
E) 5 — 🔴 Errada (parcialmente). Para q = 5 há lucro (LT(5) = 25 − 22 = 3), então seria correta se a pergunta pedisse “a menor quantidade para ter lucro positivo”; mas a questão pede “não ter prejuízo”, então o mínimo é 4, não 5.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
Igualamos faturamento e custo e resolvemos a inequação 5q ≥ 2q + 12, obtendo q ≥ 4; a menor quantidade inteira que evita prejuízo é 4.
6.2 Gabarito Reafirmado
Alternativa D — 4.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Dica: Sempre verifique se a condição é “não ter prejuízo” (lucro ≥ 0) ou “ter lucro” (lucro > 0). Custo fixo altera o ponto de equilíbrio; aqui o ponto de equilíbrio é q = 4.
