A resistência das vigas de de dado comprimento é diretamente proporcional à largura (b) e ao quadrado da altura (d), conforme a figura. A constante de proporcionalidade k varia de acordo com o material utilizado na sua construção.
Considerando-se S como a resistência, a representação algébrica que exprime essa relação é
A) S = k . b . d
B) S = b . d²
C) S = k . b . d²
D) S = (k . b)/d2
E) S = (k . d²)/b
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Proporcionalidade Direta e Inversa
- Tradução de Linguagem Verbal para Linguagem Algébrica
Tema/Objetivo Geral: Modelagem matemática de uma relação de proporcionalidade descrita textualmente em uma fórmula algébrica.
Nível da Questão: Fácil.
- Justificativa: A questão é considerada fácil pois se trata de uma tradução direta da linguagem verbal para a matemática. Não exige cálculos, apenas o conhecimento de como representar “diretamente proporcional” em uma equação, que é através da multiplicação por uma constante.
Gabarito: C) S = k . b . d²
- Esta alternativa está correta pois traduz perfeitamente a relação: S (resistência) é diretamente proporcional a k (constante), a b (largura) e ao quadrado de d (d²).
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“Considerando-se S como a resistência, a representação algébrica que exprime essa relação é”
1.2 O que está sendo pedido?
O exercício pede para que a gente escreva a fórmula matemática que representa a frase: “A resistência (S) das vigas […] é diretamente proporcional à largura (b) e ao quadrado da altura (d)”.
1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é transformar a descrição em português em uma equação matemática, usando as variáveis S, k, b e d.
1.4 Pergunta de Atenção
Você se lembrou da diferença entre “diretamente proporcional” e “inversamente proporcional”? Saber isso é a chave para montar a fórmula corretamente!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
O conceito fundamental aqui é o de Proporcionalidade.
- Proporcionalidade Direta:
- O que é: Dizemos que uma grandeza Y é diretamente proporcional a outra grandeza X se, quando X aumenta, Y também aumenta na mesma proporção (e vice-versa).
- Representação Matemática: A forma de escrever isso é através de uma multiplicação por uma constante de proporcionalidade (k).
- Y = k * X
- Exemplo do cotidiano: O valor que você paga pela gasolina (Y) é diretamente proporcional à quantidade de litros que você abastece (X). A constante k é o preço do litro.
- Proporcionalidade Inversa:
- O que é: Dizemos que Y é inversamente proporcional a X se, quando X aumenta, Y diminui (e vice-versa).
- Representação Matemática: A forma de escrever isso é através de uma divisão.
- Y = k / X
- Exemplo do cotidiano: A velocidade média para fazer uma viagem (Y) é inversamente proporcional ao tempo que você leva (X). Quanto maior o tempo, menor a velocidade.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Vamos traduzir a frase-chave do enunciado: “A resistência S… é diretamente proporcional…”. Isso significa que a fórmula começará com S = k * …, onde k é a constante.
Agora, a quais coisas a resistência é diretamente proporcional?
- “…à largura (b)…” -> Então, vamos multiplicar por b. A fórmula fica: S = k * b * …
- “…e ao quadrado da altura (d)…” -> O “quadrado da altura” se escreve como d². Então, vamos multiplicar também por d².
Juntando tudo, temos a fórmula completa.
3.2 Estratégia Geral
A estratégia é construir a equação passo a passo, traduzindo cada pedaço da frase do enunciado para sua representação matemática correspondente.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Vamos montar a equação com base na tradução que fizemos.
-
Passo 1: Identificar a variável principal.
- A resistência é representada por S. Então, a equação começa com S = …
-
Passo 2: Identificar o tipo de proporcionalidade.
- O enunciado diz “diretamente proporcional“. Isso significa que as outras grandezas estarão multiplicando no outro lado da equação, junto com a constante k.
- A equação tem a forma: S = k * (outras grandezas)
-
Passo 3: Identificar as outras grandezas.
- Primeira grandeza: “largura (b)”.
- Segunda grandeza: “quadrado da altura (d)”, que se escreve como d².
-
Passo 4: Montar a equação final.
- Juntando tudo na estrutura de proporcionalidade direta:
- S = k * b * d²
4.2 Verificação Intermediária
A equação montada, S = k * b * d², reflete exatamente a descrição verbal: S é diretamente proporcional a b e a d². Não há necessidade de cálculos, apenas de tradução correta.
4.3 Possível armadilha
A principal armadilha seria confundir proporcionalidade direta com inversa. Se o problema dissesse “inversamente proporcional ao quadrado da altura”, a fórmula seria S = (k * b) / d². As alternativas D e E exploram exatamente essa confusão. Outra armadilha seria não elevar a altura d ao quadrado, como na alternativa A.
4.4 Fechamento e expectativa
Nossa tradução direta nos levou à equação S = k . b . d². Agora, esperamos encontrar essa expressão exata nas alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) S = k . b . d
B) S = b . d²
C) S = k . b . d²
D) S = (k . b)/d²
E) S = (k . d²)/b
5.2 Justificativa Individual
- A) 🔴 Errada. Esta fórmula não eleva a altura d ao quadrado, contrariando o enunciado.
- B) 🔴 Errada. Esta fórmula esquece a constante de proporcionalidade k, que representa a influência do material da viga.
- C) 🟢 Correta. Esta é a tradução matemática perfeita da frase do enunciado: S é diretamente proporcional a k, b e d².
- D) 🔴 Errada. Esta fórmula afirma que S é inversamente proporcional ao quadrado da altura (d² está no denominador), o que contradiz o enunciado.
- E) 🔴 Errada. Esta fórmula afirma que S é inversamente proporcional à largura b, o que também contradiz o enunciado.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
A solução foi encontrada ao traduzir termo a termo a relação de proporcionalidade descrita. “Diretamente proporcional” foi traduzido como uma multiplicação, e “quadrado da altura” como d². A junção desses elementos com a constante k resultou na fórmula correta.
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a C) S = k . b . d².
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Lembre-se da regra de ouro da proporcionalidade:
- Diretamente proporcional: A variável vai para o numerador (multiplicando).
- Inversamente proporcional: A variável vai para o denominador (dividindo).
