Uma empresa de telefone fixa oferece dois planos aos seus clientes: no plano K, o cliente paga R$ 29,90 por 200 minutos mensais e R$ 0,20 por cada minuto excedente; no plano Z, paga R$ 49,90 por 300 minutos mensais e R$ 0,10 por cada minuto excedente.
O gráfico que representa o valor pago, em reais, nos dois planos em função dos minutos utilizados é
Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
Funções por partes (função afim por trechos), interpretação de gráfico, comparação de coeficientes angulares.
Tema/Objetivo Geral:
Representar, em gráfico, duas tarifas por trechos (planos telefônicos) e identificar qual figura corresponde corretamente às regras dadas.
Nível da Questão:
Fácil–médio. Exige apenas traduzir as regras em funções por partes e saber interpretar retas horizontais (tarifa fixa) e retas inclinadas (tarifa adicional por minuto). O cuidadoso ponto é perceber onde cada reta começa a subir (200 min para K; 300 min para Z) e comparar inclinações.
Gabarito:
Alternativa D. Porque o plano K é mais barato inicialmente (R$ 29,90), começa a subir em 200 min com inclinação maior (0,20/min) e cruza o plano Z exatamente em 300 min; o plano Z fica horizontal até 300 min (R$ 49,90) e depois sobe com inclinação menor (0,10/min).
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“No plano K, até 200 minutos paga-se R$ 29,90; a partir de 200 min paga-se R$ (29,90 + (x − 200)·0,20). No plano Z, até 300 minutos paga-se R$ 49,90; a partir de 300 min paga-se R$ (49,90 + (x − 300)·0,10).”
1.2 O que está sendo pedido?
Escolher o gráfico que representa corretamente os dois planos (valores constantes até um ponto e depois retas com inclinações diferentes a partir de 200 e 300 minutos).
1.3 Objetivo Cristalino
Descrever as duas funções por trechos, localizar o início das subidas (200 e 300 min), comparar os níveis iniciais (29,90 e 49,90) e as inclinações (0,20 vs 0,10) para identificar o gráfico correspondente.
1.4 Pergunta de Atenção
Você verificou se a reta de K começa a subir antes da reta de Z e se a inclinação de K é maior que a de Z (ou seja, K sobe mais rápido)?
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
Função por partes: cada plano é constante até um limite e depois cresce linearmente.
— Plano K: valor constante 29,90 para x ≤ 200; para x > 200, custo = 29,90 + 0,20*(x − 200).
— Plano Z: valor constante 49,90 para x ≤ 300; para x > 300, custo = 49,90 + 0,10*(x − 300).
Interpretação gráfica:
— Trecho horizontal = tarifa fixa até o limite.
— Trecho inclinado = tarifa adicional por minuto excedente; inclinação = custo por minuto.
Exemplo: inclinação 0,20 é mais íngreme que 0,10, então a reta do plano K sobe mais rápido que a do plano Z.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Plano K: mais barato inicialmente (29,90) e começa a aumentar já a partir de 200 min, subindo 20 centavos a cada minuto extra.
Plano Z: mais caro inicialmente (49,90), só começa a aumentar depois de 300 min, subindo 10 centavos por minuto extra.
3.2 Estratégia Geral
- Escrever as expressões por trechos;
- Calcular o ponto onde as duas retas se encontram (se ocorrer);
- Procurar o gráfico que mostra: K horizontal até 200, sobe mais cedo e mais íngreme; Z horizontal até 300, sobe depois e mais suave; as duas se cruzam no ponto esperado.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Funções (por partes):
Plano K:
- Para x ≤ 200: Custo_K = 29,90.
- Para x > 200: Custo_K = 29,90 + 0,20 * (x − 200).
Plano Z:
- Para x ≤ 300: Custo_Z = 49,90.
- Para x > 300: Custo_Z = 49,90 + 0,10 * (x − 300).
Calcular valor de K em x = 300 (para comparar):
Custo_K(300) = 29,90 + 0,20 * (300 − 200)
Custo_K(300) = 29,90 + 0,20 * 100
Custo_K(300) = 29,90 + 20,00 = 49,90
Custo_Z(300) = 49,90 (valor constante até 300).
Logo, as duas retas se interceptam em x = 300 e valor 49,90.
Para x > 300, compare inclinações: K tem coeficiente 0,20 (mais íngreme), Z tem 0,10 (menos íngreme), portanto após 300 min, K fica acima de Z.
Resumo dos pontos-chave (gráfico esperado):
- K: horizontal em R$29,90 até 200 min; sobe a partir de 200 com inclinação maior; em 300 atinge R$49,90.
- Z: horizontal em R$49,90 até 300 min; sobe a partir de 300 com inclinação menor.
- Interseção das linhas no ponto (300 min, R$49,90); K ultrapassa Z para x > 300.
4.2 Verificação Intermediária
As propriedades verificadas (níveis iniciais, início das subidas, inclinações, ponto de interseção em x = 300) determinam univocamente o gráfico correto.
4.3 Possível armadilha
— Confundir o minuto a partir do qual a tarifa muda (200 vs 300).
— Não notar que K, embora mais barato inicialmente, pode ficar mais caro depois de certo uso por ter maior preço por minuto excedente.
— Procurar cruzamento em lugar errado: as retas cruzam exatamente em 300 min (faça a conta antes de julgar o gráfico).
4.4 fechamento e expectativa
O gráfico deve mostrar K começando mais baixo, subindo antes e mais íngreme; Z começa mais alto, sobe depois e mais suavemente; assim as duas se cruzam em 300 min — opção D é a que representa isso.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Justificativa Individual
A) 🔴 Errada. Não corresponde pois nesta figura as posições iniciais e/ou os pontos de início da subida não coincidem com 200 e 300 min com os níveis R$29,90 e R$49,90 corretamente colocados; além disso a inclinação relativa pode estar invertida.
B) 🔴 Errada. Apresenta as retas com a ordem/ou inclinações trocadas (ex.: K pode aparecer começando mais alto ou subindo depois), o que contradiz os dados (K deve iniciar em 29,90 e subir em 200).
C) 🔴 Errada. Falta a representação correta de Z (horizontal até 300) ou coloca apenas uma subida a partir de 200, sem a outra reta horizontal apropriada; não há o cruzamento correto em 300 com os níveis indicados.
D) 🟢 Correta. Mostra: K horizontal em R$29,90 até 200 min; K sobe a partir de 200 com inclinação alta (0,20/min); Z horizontal em R$49,90 até 300 min; Z sobe a partir de 300 com inclinação menor (0,10/min); as duas retas se cruzam exatamente em x = 300, y = 49,90. Confere com os cálculos e a descrição das funções.
E) 🔴 Errada. Apresenta níveis iniciais e pontos de subida desalinhados com o enunciado (por exemplo, se Z não estiver horizontal até 300 ou se K subir depois de 300), ou as inclinações estão invertidas; portanto não representa as fórmulas dadas.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
Traduzimos cada plano em função por partes (constante até um limite, depois reta com coeficiente igual ao custo por minuto excedente), calculamos que as funções se cruzam em x = 300 min com valor R$ 49,90, e observamos que K tem inclinação maior (0,20) e inicia a subida em 200 min, enquanto Z sobe só a partir de 300 min com inclinação 0,10.
6.2 Gabarito Reafirmado
Alternativa D.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Dica: represente sempre por trechos: “até X minutos = valor fixo; a partir de X = valor fixo + tarifa_extra*(x − X)”. Verifique o ponto de interseção resolvendo a igualdade das retas no trecho comum — aqui isso mostra claramente que o gráfico deve ter K cruzando Z em 300 min e assumindo valores maiores para x > 300.
