Em um jogo disputado em uma mesa de sinuca, há 16 bolas: 1 branca e 15 coloridas, as quais, de acordo com a coloração, valem de 1 a 15 pontos (um valor para cada bola colorida).
O jogador acerta o taco na bola branca de forma que esta acerte as outras, com o objetivo de acertar duas das quinze bolas em quaisquer caçapas. Os valores dessas duas bolas são somados e devem resultar em um valor escolhido pelo jogador antes do início da jogada.
Arthur, Bernardo e Caio escolhem os números 12, 17 e 22 como sendo resultados de suas respectivas somas.
Com essa escolha, quem tem a maior probabilidade de ganhar o jogo é
A) Arthur, pois a soma que escolheu é a menor.
B) Bernardo, pois há 7 possibilidades de compor a soma escolhida por ele, contra 4 possibilidades para a escolha de Arthur e 4 possibilidades para a escolha de Caio.
C) Bernardo, pois há 7 possibilidades de compor a soma escolhida por ele, contra 5 possibilidades para a escolha de Arthur e 4 possibilidades para a escolha de Caio.
D) Caio, pois há 10 possibilidades de compor a soma escolhida por ele, contra 5 possibilidades para a escolha de Arthur e 8 possibilidades para a escolha de Bernardo.
E) Caio, pois a soma que escolheu é a maior.
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Análise Combinatória (Contagem de Pares)
- Probabilidade (Conceito de Eventos Favoráveis)
- Aritmética Básica (Adição)
Tema/Objetivo Geral: Comparar as probabilidades de três eventos distintos através da contagem do número de combinações favoráveis para cada um.
Nível da Questão: Médio.
- Justificativa: A questão é considerada de nível médio porque não envolve o cálculo da probabilidade em si (que seria complexo), mas sim a contagem sistemática e organizada dos “casos favoráveis” para cada jogador. A dificuldade está em realizar essa contagem de forma completa e sem erros, o que exige organização e atenção.
Gabarito: C) Bernardo, pois há 7 possibilidades de compor a soma escolhida por ele, contra 5 possibilidades para a escolha de Arthur e 4 possibilidades para a escolha de Caio.
- Esta alternativa está correta pois apresenta a contagem exata de pares de bolas cuja soma resulta nos valores escolhidos por cada jogador, identificando Bernardo como aquele com o maior número de combinações favoráveis.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“Com essa escolha, quem tem a maior probabilidade de ganhar o jogo é”
1.2 O que está sendo pedido?
A questão pede para determinarmos qual dos três jogadores (Arthur, Bernardo ou Caio) tem a maior chance de acertar sua jogada. Como a probabilidade é diretamente proporcional ao número de resultados favoráveis, isso se traduz em descobrir qual das somas (12, 17 ou 22) pode ser formada pelo maior número de pares de bolas diferentes.
1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é listar todas as duplas de bolas (com valores de 1 a 15) que somam 12, 17 e 22, contar quantas duplas existem para cada jogador e, por fim, comparar esses totais para ver quem tem mais “chances”.
1.4 Pergunta de Atenção
Você percebeu que as bolas são únicas? Isso significa que um par como “6 e 6” para somar 12 não é possível, pois só existe uma bola com o valor 6.
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
O conceito central aqui é a relação entre Probabilidade e Eventos Favoráveis.
- Probabilidade Simples:
- Lembrando a fórmula: P(A) = (Número de casos favoráveis) / (Número total de casos possíveis).
- A Simplificação do Problema:
- O número total de casos possíveis (escolher 2 bolas quaisquer dentre 15) é o mesmo para os três jogadores. A fórmula para isso seria C(15,2), mas não precisamos calculá-la.
- Como o denominador da fração da probabilidade é o mesmo para todos, a maior probabilidade pertencerá ao jogador que tiver o maior numerador, ou seja, o maior número de casos favoráveis.
- Casos Favoráveis:
- São os pares de bolas distintas, com valores de 1 a 15, cuja soma resulta no número escolhido pelo jogador.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Vamos traduzir: Arthur, Bernardo e Caio estão apostando na sinuca. Cada um escolheu um número “mágico” (12, 17 e 22). Eles vão encaçapar duas bolas coloridas ao acaso. Ganha quem tiver escolhido o número que pode ser formado pela soma dos valores das bolas de mais maneiras diferentes. Nosso trabalho é ser o juiz e contar as combinações para cada um.
3.2 Estratégia Geral
A melhor maneira de resolver isso sem se perder é ser metódico.
- Focar em Arthur (soma 12) e listar todos os pares de números de 1 a 15 que somam 12.
- Focar em Bernardo (soma 17) e listar todos os pares de números de 1 a 15 que somam 17.
- Focar em Caio (soma 22) e listar todos os pares de números de 1 a 15 que somam 22.
- Contar o número de pares para cada um e comparar.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Vamos fazer a contagem para cada jogador.
Para Arthur (Soma = 12):
- Começamos com a menor bola (1) e vemos com qual ela forma 12: (1, 11)
- Aumentamos para a próxima bola (2): (2, 10)
- E assim por diante:
- (3, 9)
- (4, 8)
- (5, 7)
- O próximo par seria (6, 6), mas isso não é possível, pois as bolas são únicas.
- Total de possibilidades para Arthur: 5
Para Bernardo (Soma = 17):
- Começamos com a menor bola (1): (1, 16) -> Não é possível, a bola 16 não existe.
- Começamos com a bola 2: (2, 15)
- Aumentamos para a próxima: (3, 14)
- E assim por diante:
- (4, 13)
- (5, 12)
- (6, 11)
- (7, 10)
- (8, 9)
- O próximo par seria (9, 8), que é a mesma combinação que já listamos.
- Total de possibilidades para Bernardo: 7
Para Caio (Soma = 22):
- Vamos começar com a maior bola (15) para facilitar: (15, 7)
- Diminuindo a primeira bola: (14, 8)
- E assim por diante:
- (13, 9)
- (12, 10)
- (11, 11) -> Não é possível, bolas únicas.
- Total de possibilidades para Caio: 4
4.2 Verificação Intermediária
Resumo da contagem:
- Arthur: 5 possibilidades
- Bernardo: 7 possibilidades
- Caio: 4 possibilidades
Bernardo é o jogador com o maior número de pares favoráveis.
4.3 Possível armadilha
A principal armadilha é a contagem apressada. É fácil esquecer um par ou contar um par duas vezes (como 8+9 e 9+8). Outra armadilha é incluir pares com números repetidos (como 6+6) ou pares com números maiores que 15. A organização na hora de listar é a chave para evitar esses erros.
4.4 Fechamento e expectativa
Nossa contagem mostra que Bernardo tem 7 chances, Arthur tem 5 e Caio tem 4. Portanto, Bernardo tem a maior probabilidade de ganhar. Esperamos encontrar uma alternativa que confirme esses números.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) Arthur, pois a soma que escolheu é a menor.
B) Bernardo, pois há 7 possibilidades para ele, contra 4 para Arthur e 4 para Caio.
C) Bernardo, pois há 7 possibilidades para ele, contra 5 para Arthur e 4 para Caio.
D) Caio, pois há 10 possibilidades para ele, contra 5 para Arthur e 8 para Bernardo.
E) Caio, pois a soma que escolheu é a maior.
5.2 Justificativa Individual
- A) 🔴 Errada. A probabilidade não depende do valor da soma ser menor ou maior, mas sim do número de combinações que a formam.
- B) 🔴 Errada. Embora identifique Bernardo como o vencedor, a contagem para Arthur está incorreta (diz 4, mas são 5).
- C) 🟢 Correta. Esta alternativa identifica corretamente Bernardo como o mais provável de ganhar e apresenta a contagem exata que realizamos para cada um dos três jogadores: 7 para Bernardo, 5 para Arthur e 4 para Caio.
- D) 🔴 Errada. Identifica o jogador errado (Caio) e apresenta contagens completamente incorretas para todos.
- E) 🔴 Errada. Assim como na alternativa A, a lógica está errada. A maior soma não garante a maior probabilidade.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
Para determinar quem tinha a maior probabilidade, listamos sistematicamente todos os pares de bolas únicas (de 1 a 15) que poderiam formar as somas 12, 17 e 22. Ao contar o número de pares para cada soma, concluímos que a soma 17, escolhida por Bernardo, era a que possuía o maior número de combinações favoráveis.
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a C) Bernardo, pois há 7 possibilidades de compor a soma escolhida por ele, contra 5 possibilidades para a escolha de Arthur e 4 possibilidades para a escolha de Caio.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Em problemas de probabilidade comparativa, se o total de possibilidades é o mesmo para todos os eventos, a maior probabilidade será a do evento com o maior número de resultados favoráveis. A chave é contar esses resultados de forma organizada e sem erros.
