É possível usar água ou comida para atrair as aves e observá-las. Muitas pessoas costumam usar água com açúcar, por exemplo, para atrair beija-flores. Mas é importante saber que, na hora de fazer a mistura, você deve sempre usar uma parte de açúcar para cinco partes de água. Além disso, em dias quentes, precisa trocar a água de duas a três vezes, pois com o calor ela pode fermentar e, se for ingerida pela ave, pode deixá-la doente. O excesso de açúcar, ao cristalizar, também pode manter o bico da ave fechado, impedindo-a de se alimentar. Isso pode até matá-la.
Ciência Hoje das Crianças. FNDE; Instituto Ciência Hoje, ano 19, n.166, mar.1996
Pretende-se encher completamente um copo com a mistura para atrair beija-flores.
O copo tem formato cilíndrico, e suas medidas são 10 cm de altura e 4 cm de diâmetro. A quantidade de água que deve ser utilizada na mistura é cerca de (utilize π = 3)
A) 20 mL.
B) 24 mL.
C) 100 mL.
D) 120 mL.
E) 600 mL.
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Espacial (Volume do Cilindro)
- Raciocínio Proporcional (Divisão em Partes)
- Conversão de Unidades de Volume (cm³ para mL)
Tema/Objetivo Geral: Calcular o volume de um dos componentes de uma mistura que preenche um recipiente cilíndrico.
Nível da Questão: Médio.
- Justificativa: A questão é considerada de nível médio porque exige a combinação de habilidades de diferentes áreas da matemática: primeiro, o cálculo do volume de um sólido geométrico (cilindro) e, em seguida, a aplicação de raciocínio proporcional para dividir esse volume corretamente entre os componentes da mistura. Um erro em qualquer uma das etapas compromete toda a solução.
Gabarito: C) 100 mL.
- Esta alternativa está correta pois, do volume total de 120 mL do copo, 5 das 6 partes proporcionais são de água, o que corresponde a 100 mL.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“A quantidade de água que deve ser utilizada na mistura é cerca de (utilize π = 3)”
1.2 O que está sendo pedido?
O exercício nos pede para calcular o volume exato de água, em mL, necessário para fazer a mistura que encherá completamente o copo cilíndrico.
1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é:
- Calcular o volume total do copo.
- Usar a proporção da receita (1 parte de açúcar para 5 de água) para descobrir qual fração desse volume total deve ser de água.
- Calcular o valor final desse volume de água.
1.4 Pergunta de Atenção
Você percebeu que a medida dada (4 cm) é o diâmetro, mas a fórmula do volume do cilindro usa o raio? Esse é um detalhe crucial para não errar o primeiro passo!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
Para resolver este problema, precisamos de três conceitos principais:
- Volume do Cilindro:
- O que é: É a medida do espaço interno de um objeto com formato cilíndrico, como uma lata ou um copo.
- Fórmula: V = Área da Base * Altura
- Como a base é um círculo, a fórmula se expande para: V = (π * r²) * h
- Classificação dos Termos:
- V: Volume.
- π (pi): Constante matemática (a questão pede para usar π = 3).
- r: Raio da base circular (metade do diâmetro).
- h: Altura do cilindro.
- Raciocínio Proporcional (Divisão em Partes):
- A receita diz “uma parte de açúcar para cinco partes de água”. Isso significa que a mistura total é dividida em 1 + 5 = 6 partes iguais.
- Dessas 6 partes, 5 são de água. Portanto, a água corresponde a 5/6 do volume total.
- Conversão de Unidades de Volume:
- A relação fundamental é que 1 centímetro cúbico (cm³) equivale a 1 mililitro (mL).
- Fórmula: 1 cm³ = 1 mL.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Vamos traduzir: temos que encher um copo até a boca com água açucarada. Primeiro, precisamos saber quanto líquido cabe no copo (seu volume). Depois, temos que seguir a receita do beija-flor: para cada 6 “colheres” da mistura, 5 têm que ser de água e 1 de açúcar. Nossa tarefa é descobrir quantos mililitros de água vamos usar no total.
3.2 Estratégia Geral
O plano de ataque é uma sequência lógica de cálculos:
- Calcular o raio do copo a partir do diâmetro.
- Usar a fórmula do volume para encontrar a capacidade total do copo em cm³.
- Converter o volume total para mL.
- Dividir o volume total pelo número de “partes” da receita para descobrir o volume de uma única parte.
- Multiplicar o volume de uma parte por 5 para encontrar a quantidade de água.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Vamos seguir nossa estratégia e executar os cálculos.
-
Passo 1: Calcular o volume total do copo.
- Dados do cilindro:
- Diâmetro = 4 cm, então o raio (r) = Diâmetro / 2 = 4 / 2 = 2 cm.
- Altura (h) = 10 cm.
- π ≈ 3.
- Aplicando a fórmula do volume:
- V = π * r² * h
- V = 3 * (2)² * 10
- V = 3 * 4 * 10
- V = 12 * 10 = 120 cm³.
- Como 1 cm³ = 1 mL, o volume total do copo é 120 mL.
- Dados do cilindro:
-
Passo 2: Dividir o volume total em partes proporcionais.
- A receita é 1 parte de açúcar + 5 partes de água = 6 partes no total.
- O volume total (120 mL) corresponde a essas 6 partes.
- Vamos descobrir o volume de uma única parte:
- Volume de 1 parte = Volume Total / Número de partes
- Volume de 1 parte = 120 mL / 6 = 20 mL.
-
Passo 3: Calcular a quantidade de água.
- A água corresponde a 5 partes da mistura.
- Quantidade de Água = Volume de 1 parte * 5
- Quantidade de Água = 20 mL * 5 = 100 mL.
4.2 Verificação Intermediária
O volume total do copo é 120 mL. A receita tem 6 partes, então cada parte tem 20 mL. Como a água são 5 partes, seu volume é 5 * 20 = 100 mL. O açúcar seria 1 parte, ou 20 mL. Somando os dois, 100 mL + 20 mL = 120 mL, que é o volume total do copo. Os cálculos estão consistentes.
4.3 Possível armadilha
A principal armadilha é usar o diâmetro (4 cm) no lugar do raio (2 cm) na fórmula do volume. Isso levaria a um volume total de V = 3 * 4² * 10 = 480 mL, resultando em respostas incorretas. Outra armadilha seria confundir a proporção, pensando que a água é 1/5 do total, em vez de 5/6.
4.4 Fechamento e expectativa
Nossos cálculos nos levaram a uma quantidade de 100 mL de água. Esperamos encontrar este valor exato nas alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) 20 mL
B) 24 mL
C) 100 mL
D) 120 mL
E) 600 mL
5.2 Justificativa Individual
- A) 20 mL (🔴) Errada. Este é o volume de uma parte da mistura, que corresponde à quantidade de açúcar, não de água.
- B) 24 mL (🔴) Errada. Este valor seria o resultado se a água fosse 1/5 do volume total (120 / 5 = 24), o que é um erro na interpretação da proporção.
- C) 100 mL (🟢) Correta. Este valor corresponde exatamente ao nosso cálculo para as 5 partes de água (5/6 do volume total de 120 mL).
- D) 120 mL (🔴) Errada. Este é o volume total do copo, não apenas o volume da água.
- E) 600 mL (🔴) Errada. Um valor muito alto, que não tem uma origem lógica a partir dos dados do problema.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
O problema foi resolvido em duas etapas principais. Primeiro, calculamos o volume total do copo cilíndrico usando a fórmula V = πr²h. Em seguida, aplicamos o raciocínio proporcional da receita para determinar que a água correspondia a 5/6 desse volume total, o que nos permitiu calcular a quantidade final.
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a C) 100 mL.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Em problemas de mistura com “partes”, sempre some todas as partes para encontrar o total. A fração de um componente será (partes dele) / (partes totais). E em geometria, lembre-se: diâmetro não é raio
