O cristalino, que é uma lente do olho humano, tem a função de fazer ajuste fino na focalização, ao que se chama acomodação. À perda da capacidade de acomodação com a idade chamamos presbiopia. A acomodação pode ser determinada por meio da convergência do cristalino.
Sabe-se que a convergência de uma lente, para pequena distância focal em metros, tem como unidade de medida a diopria (di).
A presbiopia, representada por meio da relação entre a convergência máxima Cmax (em di) e a idade T (em anos), é mostrada na figura seguinte.
Considerando esse gráfico, as grandezas convergência máxima Cmax e idade T estão relacionadas algebricamente pela expressão
A) Cmax = 2–T
B) Cmax = T2 – 70T + 600
C) Cmax = log2 (T2 –70T + 600)
D) Cmax = 0,16T + 9,6
E) Cmax = –0,16T + 9,6
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Função do 1º Grau (Função Afim)
- Interpretação de Gráficos (Plano Cartesiano)
- Sistemas de Equações Lineares
Tema/Objetivo Geral: Tradução de uma representação gráfica (uma reta) para sua correspondente representação algébrica (uma equação).
Nível da Questão: Médio – A questão exige a identificação de que o gráfico representa uma função do primeiro grau, a extração de dois pontos do gráfico e a resolução de um sistema de equações para encontrar os coeficientes da função. Não é difícil, mas envolve múltiplos passos.
Gabarito: O gabarito oficial de acordo com o inep é letra D. Porém está ERRADO.
Explicação e Correção: O gabarito oficial (letra D) está flagrantemente incorreto. A equação da alternativa D, Cmax = 0,16T + 9,6, possui um coeficiente angular positivo (+0,16), o que descreveria uma reta crescente. No entanto, o gráfico mostra claramente uma reta decrescente, indicando que a capacidade de acomodação diminui com a idade. Portanto, o coeficiente angular deve ser negativo. A resposta correta, que reflete a realidade do gráfico, é a letra E.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“Considerando esse gráfico, as grandezas convergência máxima Cmax e idade T estão relacionadas algebricamente pela expressão:”
1.2 O que está sendo pedido?
O problema nos pede para encontrar a fórmula matemática (a equação) que descreve a linha reta mostrada no gráfico.
1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é determinar a equação da reta no formato Cmax = a*T + b, encontrando os valores numéricos para o coeficiente angular (a) e o coeficiente linear (b).
1.4 Pergunta de Atenção
Você percebeu que a linha do gráfico está “descendo” da esquerda para a direita? O que isso nos diz imediatamente sobre o sinal do número que vai multiplicar a variável T na equação final?
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
Para resolver a questão, precisamos dominar o conceito de Função do 1º Grau.
- Função do 1º Grau (ou Função Afim): É toda função que pode ser escrita na forma y = a*x + b.
- No nosso problema, y é a Cmax (Acomodação Máxima) e x é a T (Idade). A forma fica: Cmax = a*T + b.
- a (Coeficiente Angular): É o número que determina a inclinação da reta.
- Se a > 0, a reta é crescente (sobe).
- Se a < 0, a reta é decrescente (desce). Isso já é uma dica valiosa!
- b (Coeficiente Linear): É o valor de y quando x = 0. Graficamente, é o ponto onde a reta cruza o eixo vertical (eixo y).
- Sistema de Equações: Para descobrir dois valores desconhecidos (a e b), precisamos de duas informações (equações). Conseguimos essas informações pegando dois pontos distintos do gráfico.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
O enunciado explica que a “vista cansada” (presbiopia) é a perda da capacidade de foco do olho com o tempo. O gráfico mostra essa relação: quanto maior a idade (eixo horizontal), menor a capacidade de acomodação (eixo vertical). Como essa relação é uma linha reta, existe uma fórmula exata para calculá-la. Nossa tarefa é descobrir essa fórmula.
3.2 Estratégia Geral
Nosso plano de ataque será:
- Extrair dois pares de coordenadas (Idade, Acomodação) do gráfico.
- Substituir esses dois pares na equação genérica Cmax = a*T + b para criar um sistema com duas equações e duas incógnitas (a e b).
- Resolver o sistema para encontrar os valores de a e b.
- Montar a equação final e compará-la com as alternativas.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Vamos executar nossa estratégia.
Passo 1: Extrair dois pontos do gráfico.
Os pontos mais fáceis de ler são os extremos da reta:
- Ponto 1: Quando a Idade (T) é 10 anos, a Acomodação (Cmax) é 8 di. Nosso par é (10, 8).
- Ponto 2: Quando a Idade (T) é 60 anos, a Acomodação (Cmax) é 0 di. Nosso par é (60, 0).
Passo 2: Montar o sistema de equações.
Usando a forma Cmax = a*T + b:
- Substituindo o Ponto 1: 8 = a*10 + b (Equação I)
- Substituindo o Ponto 2: 0 = a*60 + b (Equação II)
Passo 3: Resolver o sistema.
Vamos usar o método da substituição. Da Equação II, podemos isolar b:
0 = 60a + b -> b = -60aAgora, substituímos esse valor de b na Equação I:
8 = 10a + (-60a)
8 = 10a – 60a
8 = -50a- Agora, isolamos a:
a = 8 / (-50)
a = -0,16 - Com o valor de a, encontramos b usando a relação b = -60a:
b = -60 * (-0,16)
b = 9,6
Passo 4: Montar a equação final.
Agora que temos a = -0,16 e b = 9,6, a equação é:
Cmax = -0,16T + 9,6
4.2 Verificação Intermediária
Encontramos a = -0,16. O valor é negativo, o que condiz perfeitamente com a reta decrescente do gráfico. O resultado é coerente.
4.3 Possível armadilha
A armadilha mais óbvia aqui é um erro de sinal. Ao calcular a = 8 / (-50), um aluno desatento poderia esquecer o sinal de menos e encontrar a = 0,16. Isso o levaria diretamente para a alternativa D, que é a isca perfeita para quem comete esse deslize. A observação inicial de que a reta é decrescente (e, portanto, a deve ser negativo) é a melhor defesa contra essa armadilha.
4.4 Fechamento e expectativa
Nosso cálculo rigoroso nos levou à equação Cmax = -0,16T + 9,6. Esperamos encontrar exatamente essa expressão em uma das alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) Cmax = 2 – T
B) Cmax = T² – 70T + 600
C) Cmax = log2 (T² –70T + 600)
D) Cmax = 0,16T + 9,6
E) Cmax = -0,16T + 9,6
5.2 Justificativa Individual
- 🔴 A) Cmax = 2 – T: Incorreta. Embora seja uma reta decrescente (o coeficiente de T é -1), os valores não correspondem aos pontos do gráfico. Se T=10, Cmax seria 2-10 = -8, e não 8.
- 🔴 B) Cmax = T²…: Incorreta. Uma expressão com T² representa uma parábola, não uma linha reta.
- 🔴 C) Cmax = log2…: Incorreta. Representa uma curva logarítmica, não uma linha reta.
- 🔴 D) Cmax = 0,16T + 9,6: Incorreta. Esta é a principal “isca”. O coeficiente a = 0,16 é positivo, o que descreveria uma reta que sobe. O gráfico claramente mostra uma reta que desce.
- 🟢 E) Cmax = -0,16T + 9,6: Correta. Esta equação corresponde perfeitamente aos coeficientes a = -0,16 e b = 9,6 que calculamos. Ela representa a reta decrescente mostrada no gráfico.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
O problema foi resolvido identificando a função como linear, extraindo dois pontos do gráfico, montando um sistema de equações e calculando seus coeficientes para, enfim, determinar a expressão algébrica correta.
6.2 Gabarito Reafirmado
Apesar de um possível erro no gabarito oficial, a análise matemática inequívoca comprova que a resposta correta é a alternativa E) Cmax = -0,16T + 9,6.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Para encontrar a equação de uma reta em um gráfico, sempre siga os 3 passos: pegue 2 pontos, monte o sistema y = ax + b, e resolva para a e b. E a dica de ouro: se a reta desce, a tem que ser negativo
