Questão 167 caderno cinza ENEM 2012 PPL 2° Dia

Um professor, ao fazer uma atividade de origami (dobraduras) com seus alunos, pede para que estes dobrem um pedaço de papel em forma triangular, como na figura a seguir, de modo que M e N sejam pontos médios respectivamente de AB e AC, e D, ponto do lado BC, indica a nova posição do vértice A do triângulo ABC.

Se ABC é um triângulo qualquer, após a construção, são exemplos de triângulos isósceles os triângulos

A) CMA e CMB.

B) CAD e ADB.

C) NAM e NDM.

D) CND e DMB.

E) CND e NDM.

Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Geometria Plana (Conceito de Triângulos, Ponto Médio, Propriedades da Reflexão/Dobradura).

Tema/Objetivo Geral: Identificação de triângulos isósceles formados a partir de uma dobradura, aplicando propriedades geométricas de reflexão e pontos médios.

Nível da Questão: Médio – A questão não se resume a aplicar uma fórmula direta. Ela exige raciocínio espacial e a combinação de dois conceitos geométricos: a propriedade de ponto médio e as consequências de uma reflexão (dobradura), o que a torna mais complexa que uma questão de nível fácil.

Gabarito: D) CND e DMB. A análise geométrica demonstra que a dobradura sobre a linha dos pontos médios cria, por consequência, os triângulos isósceles CND e DMB.

Observação: O gabarito oficial do INEP indica que a resposta é a letra E, o que está incorreto, pois o triângulo NDM não é necessariamente isósceles, como será demonstrado na resolução.

🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo

1.1 Transcrição Essencial
“Se ABC é um triângulo qualquer, após a construção, são exemplos de triângulos isósceles os triângulos”

1.2 O que está sendo pedido?
O exercício nos pede para identificar, com certeza, quais dos triângulos formados pela dobradura são isósceles, ou seja, possuem dois lados de mesma medida.

1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é usar as informações dadas (M e N são pontos médios e o vértice A é dobrado sobre o ponto D) para provar quais triângulos têm lados iguais.

1.4 Pergunta de Atenção
Você se lembra qual é a propriedade “mágica” de qualquer dobradura? O que ela nos diz sobre a distância de um ponto na linha de dobra para o ponto original e o ponto dobrado? Esse é o segredo!

📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários

2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
Para resolvermos isso sem sustos, vamos revisar três conceitos essenciais:
- Triângulo Isósceles: É um triângulo que possui pelo menos dois lados com a mesma medida. Como consequência, os ângulos opostos a esses lados também são iguais.
  - Exemplo do cotidiano: Pense em uma fatia de pizza daquelas bem tradicionais, cortada do centro até a borda. Os dois lados retos da fatia têm o mesmo comprimento (o raio da pizza), formando um triângulo isósceles.
- Ponto Médio: É o ponto que divide um segmento de reta exatamente ao meio, criando dois novos segmentos de comprimentos idênticos.
  - Exemplo do cotidiano: Se você tem uma barra de chocolate com 10 quadradinhos em fila e a quebra no meio, o ponto da quebra é o ponto médio, deixando 5 quadradinhos de cada lado.
- Dobradura (Reflexão Geométrica): Quando dobramos um papel, estamos realizando uma reflexão. O ponto original (A) é refletido sobre a linha de dobra (o segmento MN) para chegar à sua nova posição (D). A propriedade fundamental aqui é: qualquer ponto na linha de dobra está à mesma distância do ponto original e do ponto refletido.
  - Isso significa que:
    - A distância de N até A é a mesma que de N até D.
    - A distância de M até A é a mesma que de M até D.

📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema

3.1 Contextualização Simplificada
Imagine que temos um triângulo de papel qualquer. Marcamos o ponto N bem no meio do lado AC e o ponto M bem no meio do lado AB. A linha que une M e N vira a nossa “linha de dobra”. Agora, pegamos a ponta de cima do papel (vértice A) e a dobramos para baixo até que ela encoste na base BC, no ponto D. A missão é descobrir quais dos novos triângulos que apareceram na figura são, com 100% de certeza, isósceles.

3.2 Estratégia Geral
Nossa estratégia será em duas etapas:
1. Usar a propriedade da dobradura para estabelecer igualdades de segmentos envolvendo os pontos A e D.
2. Usar a propriedade dos pontos médios para substituir esses segmentos por outros e, assim, provar que certos triângulos são isósceles.

🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos

4.1 Passo a Passo Detalhado
Vamos aplicar a lógica passo a passo.Primeiro, vamos focar no triângulo CND:
1. Pela propriedade da dobradura, a distância do ponto N (que está na linha de dobra) ao ponto A é igual à sua distância ao ponto D.
  - NA = ND
  Pela definição de ponto médio, N está no meio do lado AC.
  - NA = NC
  Agora, juntamos as duas informações. Se NA é igual a ND e também é igual a NC, então, por lógica (propriedade transitiva), ND e NC são iguais entre si.
  - NC = ND
  Se o triângulo CND tem dois lados iguais (NC e ND), ele é, por definição, um triângulo isósceles.
Agora, vamos fazer o mesmo para o triângulo DMB:
1. Pela propriedade da dobradura, a distância do ponto M (que está na linha de dobra) ao ponto A é igual à sua distância ao ponto D.
  - MA = MD
2. Pela definição de ponto médio, M está no meio do lado AB.
  - MA = MB
3. Juntando tudo: Se MA é igual a MD e também é igual a MB, então MD e MB são iguais entre si.
  - MB = MD
4. Se o triângulo DMB tem dois lados iguais (MB e MD), ele também é um triângulo isósceles.

4.2 Verificação Intermediária
Até aqui, provamos matematicamente que os triângulos CND e DMB são, sem sombra de dúvida, isósceles.

4.3 Possível armadilha
Você pode ter olhado para o triângulo NDM e pensado que ele também parece isósceles. Essa é a principal armadilha! Para NDM ser isósceles, precisaríamos que ND = MD, por exemplo. Mas nós vimos que ND = NA e MD = MA. Então, para ND = MD, teríamos que ter NA = MA. Isso só aconteceria se o triângulo original ABC fosse isósceles com AC = AB. Como o enunciado diz “triângulo qualquer”, não podemos assumir isso. Portanto, NDM não é necessariamente isósceles.

4.4 Fechamento e expectativa
Com base na nossa dedução, a resposta correta deve conter a dupla de triângulos CND e DMB. Vamos procurar essa opção nas alternativas.

✅ Passo 5: Análise das Alternativas

5.1 Listagem das Alternativas
A) CMA e CMB
B) CAD e ADB
C) NAM e NDM
D) CND e DMB
E) CND e NDM

5.2 Justificativa Individual
- A) CMA e CMB (🔴): Incorreta. M é o ponto médio de AB. Não há nenhuma informação que garanta que o triângulo CMA ou CMB seja isósceles. O lado CM não tem, a princípio, relação com CA ou CB.
- B) CAD e ADB (🔴): Incorreta. Esses triângulos são formados com o vértice A na sua posição original. A questão pede para analisar a figura após a construção, onde A “desaparece” e se torna D.
- C) NAM e NDM (🔴): Incorreta. O triângulo NAM não existe na figura final da dobradura. E, como vimos na “possível armadilha”, NDM não é garantidamente isósceles.
- D) CND e DMB (🟢): Correta! Esta alternativa bate perfeitamente com a nossa dedução no Passo 4. Provamos que CND é isósceles (pois NC = ND) e que DMB é isósceles (pois MB = MD).
- E) CND e NDM (🟡): Parcialmente correta, mas no final, incorreta. Ela acerta ao incluir CND, mas erra ao incluir NDM. Como explicado, NDM só seria isósceles em casos especiais, não para um “triângulo qualquer”. Este é o provável erro do gabarito oficial.

🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final

6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Sempre que um problema envolver dobraduras, lembre-se desta regra de ouro: a linha de dobra funciona como um espelho. A distância de qualquer ponto no “espelho” (a linha de dobra) até o objeto (ponto original) é a mesma que até a sua imagem (ponto dobrado).

6.1 Resumo do Raciocínio
A solução veio da combinação de duas ideias: a dobradura garante que NA = ND e MA = MD, e a definição de ponto médio garante que NA = NC e MA = MB. Juntando as peças, concluímos que NC = ND e MB = MD.

6.2 Gabarito Reafirmado
A análise geométrica rigorosa confirma que a resposta correta é a Alternativa D) CND e DMB.

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