O governo de um país criou o Fundo da Soja e do Milho, que tem como expectativa inicial arrecadar, por ano, R$ 36,14 milhões para investimento em pesquisas relacionadas aos principais produtos da agricultura. Com isso, a cada operação de venda, seriam destinados ao Fundo R$ 0,28 por tonelada de soja e R$ 0,22 por tonelada de milho comercializadas. Para este ano, espera-se que as quantidades de toneladas produzidas, de soja e de milho, juntas, seja 150,5 milhões.
Foi pedido a cinco funcionários do Fundo, André, Bruno, Caio, Douglas e Eduardo, que apresentassem um sistema que modelasse os dados apresentados. Cada funcionário apresentou um sistema diferente, considerando x e y como as quantidades de toneladas comercializadas, respectivamente, de soja e de milho. O resultado foi o seguinte:
O funcionário que fez a modelagem correta foi
A) André.
B) Bruno.
C) Caio.
D) Douglas.
E) Eduardo.
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Interpretação de Enunciados
- Modelagem Matemática
- Sistemas de Equações Lineares do 1º Grau
- Conversão de Unidades Numéricas (Notação “milhões”)
Tema/Objetivo Geral: Traduzir uma situação-problema em um sistema de equações lineares, representando corretamente as grandezas envolvidas.
Nível da Questão
Fácil – A questão é considerada fácil porque exige uma tradução direta das informações do texto para a linguagem matemática, sem a necessidade de cálculos complexos ou conceitos teóricos aprofundados. O principal ponto de atenção, que pode levar ao erro, é a correta conversão dos valores expressos em “milhões” para seus números absolutos.
Gabarito
A) André. Esta alternativa está correta porque representa fielmente as duas condições do problema: a soma das toneladas (x + y) igualada ao valor total de 150.500.000 e a arrecadação ponderada (0,28x + 0,22y) igualada ao valor total de 36.140.000.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“o funcionário que fez a modelagem correta foi”
1.2 O que está sendo pedido?
O exercício pede para identificar qual dos cinco sistemas de equações apresentados traduz corretamente as informações do enunciado sobre a produção de soja e milho e a arrecadação do fundo.
1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é montar o sistema de equações que representa a situação e, em seguida, compará-lo com as alternativas para encontrar a que corresponde exatamente ao nosso modelo.
1.4 Pergunta de Atenção
Você lembrou que quando as variáveis (x e y) representam um valor total (toneladas), os resultados das equações também devem estar em seus valores totais, e não em uma forma abreviada como “milhões”?
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
- Sistema de Equações Lineares: É um conjunto de duas ou mais equações com as mesmas incógnitas (no nosso caso, ‘x’ e ‘y’). O objetivo é encontrar um par de valores (x, y) que satisfaça todas as equações ao mesmo tempo.
- Modelagem Matemática: É o processo de “traduzir” um problema do mundo real para a linguagem da matemática, usando variáveis, equações e símbolos. Por exemplo, se você compra 2 pães (p) e 1 suco (s) e paga R$ 10,00, a modelagem seria: 2p + 1s = 10.
- Variáveis (Incógnitas): São as letras que representam os valores desconhecidos que queremos descobrir. No problema:
- x = quantidade, em toneladas, de soja.
- y = quantidade, em toneladas, de milho.
- Conversão de “Milhões”: Para usar os números em cálculos, precisamos escrevê-los por extenso.
- 1 milhão = 1.000.000
- 150,5 milhões = 150,5 * 1.000.000 = 150.500.000
- 36,14 milhões = 36,14 * 1.000.000 = 36.140.000
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Basicamente, o problema nos dá duas pistas principais:
- A quantidade total de soja (x) mais a quantidade total de milho (y) é de 150,5 milhões de toneladas.
- O dinheiro arrecadado com a soja (R$ 0,28 por tonelada) mais o dinheiro arrecadado com o milho (R$ 0,22 por tonelada) soma R$ 36,14 milhões.
Precisamos transformar cada uma dessas pistas em uma equação matemática.
3.2 Estratégia Geral
Primeiro, vamos escrever a equação que representa a soma das toneladas. Em seguida, faremos a equação que representa a soma do dinheiro arrecadado. Ao juntar as duas, teremos nosso sistema para comparar com as opções.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Vamos montar cada equação separadamente.
Equação 1: A Quantidade Total de Grãos
O enunciado afirma que as quantidades de soja (x) e milho (y) juntas somam 150,5 milhões de toneladas.
- Tradução direta: x + y = 150,5 milhões
- Convertendo o valor para sua forma completa, temos:
x + y = 150.500.000
Equação 2: A Arrecadação Total do Fundo
O fundo arrecada R$ 0,28 por tonelada de soja (x) e R$ 0,22 por tonelada de milho (y), totalizando R$ 36,14 milhões.
- Arrecadação com soja = 0,28 * x
- Arrecadação com milho = 0,22 * y
- Tradução direta: 0,28x + 0,22y = 36,14 milhões
- Convertendo o valor para sua forma completa, temos:
0,28x + 0,22y = 36.140.000
4.2 Verificação Intermediária
Juntando as duas equações, o sistema que modela corretamente o problema é:
{ x + y = 150.500.000
{ 0,28x + 0,22y = 36.140.000
4.3 Possível armadilha
A principal armadilha aqui é a inconsistência de unidades. Você poderia pensar que, se o enunciado usa “150,5 milhões”, a equação deveria ter o número “150,5”. No entanto, como ‘x’ e ‘y’ representam o número total de toneladas (uma unidade fundamental), o resultado da soma também deve estar nessa unidade fundamental, e não na forma abreviada “milhões”. Misturar as duas coisas leva a um modelo matemático incorreto, como fizeram alguns dos funcionários.
4.4 Fechamento e expectativa
Com o sistema devidamente montado, esperamos encontrar entre as alternativas uma que seja idêntica a ele, com os valores de 150.500.000 para a soma das toneladas e 36.140.000 para a arrecadação.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
- A) André: {x + y = 150.500.000; 0,28x + 0,22y = 36.140.000}
- B) Bruno: {100.000.000x + 100.000.000y = 150,5; 0,28x + 0,22y = 36.140.000}
- C) Caio: {x + y = 150,5; 0,28x + 0,22y = 36.140.000}
- D) Douglas: {x + y = 150,5; 0,28x + 0,22y = 36,14}
- E) Eduardo: {x + y = 150.500.000; 0,28x + 0,22y = 36,14}
5.2 Justificativa Individual
- A) André: 🟢 Correta. Este sistema corresponde exatamente ao que desenvolvemos no Passo 4. Ambas as equações usam os valores numéricos completos, mantendo a consistência das unidades.
- B) Bruno: 🔴 Incorreta. A primeira equação não tem sentido matemático no contexto do problema. Ele multiplicou as variáveis por 100 milhões e igualou ao número 150,5, uma confusão total de grandezas.
- C) Caio: 🔴 Incorreta. A primeira equação está errada. Ele usou o valor “150,5” em vez de “150.500.000”. Isso cria uma inconsistência, pois a soma de toneladas (x+y) não pode ser igual a um número tão pequeno.
- D) Douglas: 🔴 Incorreta. Ambas as equações usam os valores na forma abreviada (“150,5” e “36,14”), caindo na principal armadilha do problema.
- E) Eduardo: 🔴 Incorreta. A segunda equação está errada. Ele usou o valor “36,14” em vez de “36.140.000”, cometendo o mesmo erro de unidade que Caio, mas na equação da arrecadação.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
Para resolver a questão, traduzimos as duas informações centrais do enunciado (total de toneladas e total de arrecadação) em duas equações lineares. O ponto crucial foi converter os valores expressos em “milhões” para seus números absolutos, garantindo a consistência do sistema.
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a A) André, pois o sistema apresentado por ele é o único que representa corretamente os valores completos de 150.500.000 toneladas e R$ 36.140.000 arrecadados.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Sempre que for modelar um problema, garanta que todas as partes da sua equação “falem a mesma língua”. Se suas variáveis representam unidades totais (como toneladas, metros, etc.), os resultados numéricos também devem estar expressos em suas unidades totais, não em abreviações.
