O abandono escolar no ensino médio é um dos principais problemas da educação no Brasil. Reduzir as taxas de abandono tem sido uma tarefa que exige persistência e ações continuadas dos organismos responsáveis pela educação no país.
O gráfico apresentado a seguir mostra as taxas percentuais de abandono no ensino médio, para todo o país, no período de 2007 a 2010, em que se percebe uma queda a partir de 2008. Com o objetivo de reduzir de forma mais acentuada a evasão escolar são investidos mais recursos e intensificadas as ações, para se chegar a uma taxa em torno de 5,2% ao final do ano de 2013.
Qual a taxa de redução anual que deve ser obtida para que se chegue ao patamar desejado para o final de 2013?
Considere (0,8)³ = 0,51.
A) 10%
B) 20%
C) 41%
D) 49%
E) 51%
Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
Matemática – Potenciação, Porcentagem, Interpretação de Gráficos
Tema/Objetivo Geral:
Taxa de redução percentual composta (modelo exponencial)
Nível da Questão:
Médio.
O aluno precisa entender o conceito de redução percentual sucessiva (não é subtrair 20% todo ano, é multiplicar por 0,8), e aplicar potência de base decimal, com auxílio de aproximações.
Gabarito:
Letra B (20%)
🟢 A alternativa está correta porque corresponde à taxa percentual anual de redução que, aplicada por 3 anos sobre 10,3%, resulta aproximadamente em 5,2%, como demonstrado no enunciado com base na potência de 0,8³.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial:
“Qual a taxa de redução anual que deve ser obtida para que se chegue ao patamar desejado para o final de 2013?”
1.2 O que está sendo pedido?
A taxa de redução percentual anual, aplicada constantemente por 3 anos, que leva a taxa de 10,3% (em 2010) até 5,2% (em 2013).
1.3 Objetivo Cristalino
Encontrar qual porcentagem anual de queda (i) deve ocorrer para que:
10,3 * (1 – i)³ = 5,2
1.4 Pergunta de Atenção:
Você lembra que redução percentual sucessiva NÃO é subtrair o mesmo número todo ano, mas sim multiplicar por um mesmo fator (1 – i)?
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
- Redução percentual anual: é quando um valor diminui todo ano pela mesma porcentagem, de forma acumulada.
- Fórmula básica do decaimento percentual composto: Valor final = Valor inicial × (1 – i)^n
Onde:
i = taxa de redução decimal (ex: 0,2 para 20%)
n = número de anos consecutivos
(1 – i) = fator de decaimento anual
- Potência de decimal (exponenciação): significa aplicar a mesma multiplicação várias vezes.
Ex: (0,8)^3 = 0,8 × 0,8 × 0,8 = 0,512
Classificando termos importantes:
- “Taxa de abandono”: valor percentual que queremos reduzir.
- “Taxa de redução anual”: é o quanto queremos diminuir (em %) por ano.
- “Para chegar a 5,2% em 2013”: define o objetivo final, em 3 anos.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Em 2010, o índice de evasão era 10,3%. O governo quer reduzir isso para 5,2% até 2013, ou seja, em 3 anos. A pergunta é: de quanto tem que ser a queda percentual a cada ano, se a redução for constante?
3.2 Estratégia Geral
Vamos montar a equação usando a fórmula do decaimento:
Valor_final = Valor_inicial × (1 – i)^3
Depois, isolar i com ajuda do valor aproximado fornecido pelo enunciado.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Etapa 1: Aplicar fórmula com os dados conhecidos
10,3 * (1 – i)^3 = 5,2
Etapa 2: Isolar a parte exponencial
(1 – i)^3 = 5,2 / 10,3
(1 – i)^3 ≈ 0,5048 → arredondado para 0,51 (como dado no enunciado)
Etapa 3: Aplicar a aproximação fornecida
Sabemos que (0,8)^3 = 0,51
Logo, (1 – i) = 0,8
Etapa 4: Achar o valor da taxa
1 – i = 0,8
i = 1 – 0,8
i = 0,2 → 20%
4.2 Verificação Intermediária
Vamos testar:
10,3 × (0,8)^3 = 10,3 × 0,512 = 5,2736 ≈ 5,2 → Confere!
4.3 Possível armadilha
Você pode ter achado que seria só subtrair 1,7% por ano (diferença dividida por 3). Mas isso só vale para reduções lineares. Aqui, estamos lidando com decrescimento composto, ou seja, a cada ano o novo valor reduz sobre ele mesmo.
4.4 Fechamento e Expectativa
Chegamos à taxa anual de redução de 20% ao ano. Agora, vamos confirmar se está entre as alternativas e por que as outras estão erradas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) 10%
B) 20%
C) 41%
D) 49%
E) 51%
5.2 Justificativa Individual
🔴 A) 10%
Redução pequena demais. Se aplicarmos 10% ao ano, teríamos:
(0,9)^3 = 0,729 → 10,3 * 0,729 = 7,5% (muito acima de 5,2%).
🟢 B) 20%
Correta. (0,8)^3 = 0,512 → 10,3 * 0,512 ≈ 5,2%. Confere com os dados do enunciado.
Gabarito confirmado!
🔴 C) 41%
Muito alta. (0,59)^3 ≈ 0,205.
10,3 * 0,205 ≈ 2,1% → muito abaixo da meta. Desnecessariamente agressiva.
🔴 D) 49%
Quase metade cortada a cada ano. (0,51)^3 ≈ 0,132.
10,3 * 0,132 ≈ 1,36%. Redução excessiva.
🔴 E) 51%
(0,49)^3 ≈ 0,117.
10,3 * 0,117 ≈ 1,2%. Mais uma vez, resultado muito abaixo do desejado.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
Aplicamos a fórmula de redução composta, usando os valores de 10,3% e 5,2%, e resolvemos a equação com ajuda da aproximação fornecida (0,8)^3 = 0,51.
6.2 Gabarito Reafirmado
✅ Alternativa correta: Letra B (20%)
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
(💡) Redução percentual acumulada exige multiplicar por (1 – i)^n, e não subtrair valor fixo todo ano. Sempre pense em progressão exponencial nesses casos!
