Durante seu treinamento, um atleta percorre metade de uma pista circular de raio R, conforme figura a seguir. A sua largada foi dada na posição representada pela letra L, a chegada está representada pela letra C e a letra A representa o atleta. O segmento LC é um diâmetro da circunferência e o centro da circunferência está representado pela letra F.
Sabemos que, em qualquer posição que o atleta esteja na pista, os segmentos LA e AC são perpendiculares. Seja θ o ângulo que o segmento AF faz com segmento FC.
Quantos graus mede o ângulo θ quando o segmento AC medir R durante a corrida?
A) 5 graus
B) 30 graus
C) 60 graus
D) 90 graus
E) 120 graus
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Plana
- Propriedades da Circunferência (Raio e Diâmetro)
- Classificação de Triângulos (Equilátero)
- Soma dos Ângulos Internos de um Triângulo
Tema/Objetivo Geral:
Determinação do valor de um ângulo a partir da análise das propriedades geométricas formadas por pontos em uma circunferência.
Nível da Questão
Fácil – A questão é considerada fácil, pois a sua solução depende da identificação de uma propriedade geométrica fundamental. Uma vez que o aluno reconhece que os segmentos envolvidos são raios da circunferência e que eles formam um triângulo equilátero, a resposta se torna direta, sem a necessidade de cálculos complexos.
Gabarito
Alternativa C) – Esta alternativa está correta. Quando o segmento AC mede R, ele se iguala aos segmentos FA e FC (que são raios da circunferência). Isso forma um triângulo equilátero AFC, e todos os ângulos internos de um triângulo equilátero medem 60°.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“Quantos graus mede o ângulo θ quando o segmento AC medir R durante a corrida?”
1.2 O que está sendo pedido?
O exercício nos pede para encontrar o valor do ângulo θ (theta) em um momento muito específico da corrida: quando a distância em linha reta entre o atleta (ponto A) e o ponto de chegada (ponto C) for exatamente igual ao raio (R) da pista.
1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é analisar a geometria da situação, focando no triângulo AFC, e usar as informações dadas para descobrir suas propriedades e, consequentemente, o valor do ângulo θ.
1.4 Pergunta de Atenção
Você notou que o enunciado fornece informações que não são necessárias para a pergunta específica, como a posição de largada L e o fato de LA e AC serem perpendiculares? Isso acontece em muitas questões! Nosso foco deve ser apenas no triângulo AFC no instante em que AC = R.
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas
- Circunferência e seus Elementos:
- Centro (F): O ponto central da figura.
- Raio (R): A distância do centro (F) a qualquer ponto da borda da circunferência (como A, L ou C). Todos os raios de uma mesma circunferência têm o mesmo comprimento.
- Diâmetro (LC): Um segmento de reta que passa pelo centro e conecta dois pontos da borda. Seu comprimento é o dobro do raio (2R).
- Triângulo Equilátero:
- Definição: É um triângulo que possui todos os três lados com o mesmo comprimento.
- Propriedade Principal: Como consequência de ter os três lados iguais, ele também possui os três ângulos internos iguais.
- Soma dos Ângulos Internos de um Triângulo:
- Teorema: A soma dos três ângulos internos de qualquer triângulo é sempre igual a 180°.
- Aplicação no Triângulo Equilátero: Se os três ângulos são iguais e a soma é 180°, então cada ângulo mede 180° / 3 = 60°.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Vamos esquecer o atleta por um momento e focar na geometria. Temos um triângulo AFC dentro de um semicírculo. O problema nos pede: “Se o lado AC desse triângulo tiver o mesmo tamanho do raio da pista, qual será o valor do ângulo θ, que está no centro do círculo?”
3.2 Estratégia Geral
- Identificar todos os lados do triângulo AFC.
- Usar a definição de raio para determinar o comprimento dos lados FA e FC.
- Usar a condição dada no enunciado (AC = R) para determinar o comprimento do terceiro lado.
- Com base no comprimento dos três lados, classificar o triângulo AFC.
- Usar as propriedades do tipo de triângulo encontrado para determinar o valor do ângulo θ.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Etapa 1: Analisar os lados do triângulo AFC.
O triângulo em questão é o AFC. Seus lados são os segmentos FA, FC e AC.
Etapa 2: Determinar o comprimento de FA e FC.
- O ponto F é o centro da circunferência.
- O ponto A está na borda da circunferência (é a posição do atleta na pista).
- Portanto, o segmento FA é a distância do centro à borda, o que, por definição, é o raio (R).
- O ponto C também está na borda da circunferência.
- Portanto, o segmento FC também é um raio (R).
Até aqui, já sabemos que o triângulo AFC tem pelo menos dois lados iguais (FA = FC = R), o que o torna, no mínimo, um triângulo isósceles.
Etapa 3: Aplicar a condição do enunciado.
A pergunta nos dá uma condição específica: “quando o segmento AC medir R“.
Então, nesse exato momento, o lado AC também tem comprimento R.
Etapa 4: Classificar o triângulo AFC.
Agora, vamos juntar todas as informações sobre os lados do triângulo AFC:
- Lado FA = R
- Lado FC = R
- Lado AC = R
Como todos os três lados são iguais a R, o triângulo AFC é um triângulo equilátero.
Etapa 5: Determinar o ângulo θ.
O ângulo θ é o ângulo interno do triângulo AFC que está no vértice F.
Em um triângulo equilátero, todos os ângulos internos são iguais e medem 60°.
Portanto, θ = 60°.
4.2 Verificação Intermediária
A lógica é direta e sem ambiguidades. Se os três lados de um triângulo são iguais ao raio, o triângulo é equilátero, e seus ângulos são todos 60°.
4.3 Possível armadilha
Uma possível distração seria tentar usar a informação de que “LA e AC são perpendiculares”. Isso descreve o momento da chegada do atleta no ponto L, formando um triângulo retângulo LAC inscrito na semicircunferência. Essa informação é verdadeira, mas não é necessária para resolver a pergunta sobre o ângulo θ quando AC = R. Focar nisso poderia complicar o raciocínio desnecessariamente.
4.4 Fechamento e expectativa
Nosso cálculo resultou em 60 graus. Esperamos encontrar este valor exato nas alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) 5 graus
B) 30 graus
C) 60 graus
D) 90 graus
E) 120 graus
5.2 Justificativa Individual
- A) 5 graus (🔴) e B) 30 graus (🔴): Valores incorretos, provavelmente resultado de um erro de cálculo ou de uma premissa geométrica errada.
- C) 60 graus (🟢): Corresponde exatamente à nossa conclusão de que o triângulo AFC se torna equilátero no momento especificado.
- D) 90 graus (🔴): Seria a resposta se o triângulo AFC fosse um triângulo retângulo com o ângulo reto em F, o que não é o caso.
- E) 120 graus (🔴): Um ângulo interno de um triângulo não pode ser 120 graus se os outros dois ângulos forem positivos, pois a soma excederia 180°.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
A chave da questão foi identificar que os segmentos FA e FC são raios da circunferência e, portanto, medem R. Com a condição adicional de que AC também mede R, concluímos que os três lados do triângulo AFC são iguais, formando um triângulo equilátero. Por definição, todos os ângulos de um triângulo equilátero são de 60°.
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a C), e o ângulo θ mede 60 graus.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Em problemas de geometria com circunferências, sempre identifique os raios. Eles são a “ponte” que conecta o centro a qualquer ponto da borda, e saber que todos têm o mesmo comprimento é frequentemente o segredo para resolver a questão.
