Um cliente de uma videolocadora tem o hábito de alugar dois filmes por vez. Quando os devolve sempre pega outros dois filmes e assim sucessivamente. Ele soube que a videolocadora recebeu alguns lançamentos, sendo 8 filmes de ação, 5 de comédia e 3 de drama e, por isso, estabeleceu uma estratégia para ver todos esses 16 lançamentos. Inicialmente alugará, em cada vez, um filme de ação e um de comédia. Quando se esgotarem as possibilidades de comédia, o cliente alugará um filme de ação e um de drama, até que todos os lançamentos sejam vistos e sem que nenhum filme seja repetido.
De quantas formas distintas a estratégia desse cliente poderá ser posta em prática?
Solução
Sendo 8 de ação, 5 de comédia e 3 de drama.
No primeiro dia ele tem 8 de ação e 5 de comédia: 8.5
No segundo dia ele tem 7 possibilidades de ação e 4 de comédia: 7.4
No terceiro dia ele tem 6 possibilidades de ação e 3 de comédia: 6.3
No quarto dia ele tem 5 possibilidades de ação e 2 de comédia: 5.2
No quinto dia ele tem 4 possibilidades de ação e 1 de comédia: 4.1
Agora ele para de assistir comédia e passa a assistir drama
No sexto dia ele tem 3 possibilidades de ação e 3 de drama: 3.3
No sexto dia ele tem 2 possibilidades de ação e 2 de drama: 2.2
No sexto dia ele tem 1 possibilidades de ação e 1 de drama: 1.1
Multiplicando esses produtos entre si temos
8.5.7.4.6.3.5.2.4.1.3.3.2.2.1.1
Podemos observar que essa multiplicação é igual a multiplicação dos seguintes números
8!.5!.3!
Alternativa B
Resolução em texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem – PFC, Permutação)
- Fatorial
🎯 Tema/Objetivo Geral: Contagem de possibilidades em um processo com múltiplas etapas e restrições.
🎯 Nível da Questão: Difícil.
- Detalhe: A questão é difícil porque a ordem em que os pares de filmes são alugados importa, mas dentro de cada “retirada” (um filme de ação e um de comédia, por exemplo), a ordem não importa. A solução não é uma aplicação direta de uma única fórmula (como permutação simples ou arranjo). Ela exige um raciocínio cuidadoso sobre como construir a sequência de escolhas e agrupar os fatores de uma maneira que corresponda a uma das alternativas, o que é um passo conceitual avançado.
✅ Gabarito: B
- A alternativa está correta porque o processo pode ser entendido como três permutações independentes: a ordem em que os 8 filmes de ação são escolhidos (8!), a ordem dos 5 de comédia (5!) e a ordem dos 3 de drama (3!). Pelo Princípio Fundamental da Contagem, o total de formas é o produto dessas permutações.
📖 Resolução Passo a Passo
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial 📌
“De quantas formas distintas a estratégia desse cliente poderá ser posta em prática?”
1.2 O que está sendo pedido? 📌
A questão pede para calcularmos o número total de sequências possíveis de aluguéis de filmes, seguindo a estratégia definida pelo cliente.
1.3 Objetivo Cristalino 📌
Nosso objetivo é usar o Princípio Fundamental da Contagem para calcular o número de maneiras de escolher os pares de filmes em cada etapa da estratégia e, em seguida, multiplicar todas essas possibilidades.
1.4 Pergunta de Atenção ✔
Você percebeu que o problema não é sobre quais filmes ele aluga, mas em que ordem ele os aluga? A sequência “Ação1/Comédia1, depois Ação2/Comédia2” é diferente de “Ação2/Comédia1, depois Ação1/Comédia2”. A ordem das escolhas ao longo do tempo importa!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos 📌
Para resolver este problema, precisamos de dois conceitos centrais da Análise Combinatória:
- 1. Princípio Fundamental da Contagem (PFC):
- Se um evento é composto por k etapas independentes, e a primeira etapa pode ocorrer de n₁ maneiras, a segunda de n₂ maneiras, e assim por diante, o número total de maneiras de o evento ocorrer é o produto: n₁ × n₂ × … × nₖ.
- 2. Permutação Simples:
- É o número de maneiras de ordenar n objetos distintos.
- Fórmula: P(n) = n! (lê-se “n fatorial”), que é n × (n-1) × (n-2) × … × 1.
- Exemplo: De quantas maneiras podemos ordenar 3 filmes (A, B, C)? 3! = 3 × 2 × 1 = 6 maneiras (ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA).
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada 📌
Imagine que o cliente tem três “baralhos” de cartas: um com 8 filmes de Ação, um com 5 de Comédia e um com 3 de Drama.
- Fase 1: Ele vai tirando uma carta de Ação e uma de Comédia, até o baralho de Comédia acabar.
- Fase 2: Depois, ele continua tirando uma carta do baralho de Ação (que ainda tem cartas) e uma de Drama, até todos os baralhos se esgotarem.
A pergunta é: de quantas sequências diferentes de “mãos” (pares de filmes) ele pode fazer isso?
3.2 Estratégia Geral 📌
A estratégia mais elegante é pensar no problema de forma separada para cada gênero.
- Ação: O cliente vai escolher todos os 8 filmes de ação, um por um, ao longo do tempo. De quantas maneiras ele pode ordenar a escolha desses 8 filmes?
- Comédia: Ele vai escolher todos os 5 filmes de comédia. De quantas maneiras ele pode ordenar a escolha desses 5 filmes?
- Drama: Ele vai escolher todos os 3 filmes de drama. De quantas maneiras ele pode ordenar a escolha desses 3 filmes?
- Juntar tudo: Pelo PFC, o número total de formas de a estratégia acontecer é o produto das ordenações de cada gênero.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado 📌
Vamos aplicar nossa estratégia elegante.
- Passo A: A ordem dos filmes de Ação
- O cliente precisa escolher uma sequência para ver os 8 filmes de ação. Na primeira vez, ele escolhe 1 de 8. Na segunda, 1 de 7, e assim por diante.
- O número de maneiras de definir a ordem de escolha dos 8 filmes de ação é a permutação de 8 elementos.
- Possibilidades de Ação = 8!
- Passo B: A ordem dos filmes de Comédia
- Ele precisa escolher uma sequência para ver os 5 filmes de comédia, que serão pareados com os 5 primeiros filmes de ação.
- O número de maneiras de definir a ordem de escolha dos 5 filmes de comédia é a permutação de 5 elementos.
- Possibilidades de Comédia = 5!
- Passo C: A ordem dos filmes de Drama
- Ele precisa escolher uma sequência para ver os 3 filmes de drama, que serão pareados com os 3 últimos filmes de ação.
- O número de maneiras de definir a ordem de escolha dos 3 filmes de drama é a permutação de 3 elementos.
- Possibilidades de Drama = 3!
- Passo D: Combinando as possibilidades com o PFC
- A escolha da ordem dos filmes de ação é independente da ordem dos de comédia, que é independente da ordem dos de drama. Para encontrar o número total de formas da estratégia, multiplicamos as possibilidades.
- Total de formas = (Possibilidades de Ação) × (Possibilidades de Comédia) × (Possibilidades de Drama)
- Total de formas = 8! × 5! × 3!
4.2 Verificação Intermediária (usando o método passo a passo da sua solução) 📌
- 1ª retirada (Ação+Comédia): 8 × 5 opções
- 2ª retirada (Ação+Comédia): 7 × 4 opções
- 3ª retirada (Ação+Comédia): 6 × 3 opções
- 4ª retirada (Ação+Comédia): 5 × 2 opções
- 5ª retirada (Ação+Comédia): 4 × 1 opções
- 6ª retirada (Ação+Drama): 3 × 3 opções
- 7ª retirada (Ação+Drama): 2 × 2 opções
- 8ª retirada (Ação+Drama): 1 × 1 opções
- Multiplicando tudo: (8×7×6×5×4×3×2×1) × (5×4×3×2×1) × (3×2×1)
- Isso é exatamente 8! × 5! × 3!. Os dois caminhos levam à mesma resposta!
4.3 Possível armadilha ❓/ ✔
A principal armadilha é se confundir com a ideia de “par”. Você poderia pensar em C(8,1) × C(5,1) para a primeira retirada, C(7,1) × C(4,1) para a segunda, e assim por diante. Isso está correto para cada etapa. Mas a questão é sobre a sequência de retiradas, então a ordem importa. A elegância do método das permutações separadas é que ele já embute essa ordem. Outra armadilha seria tentar usar fórmulas de arranjo ou combinação para o problema todo, o que não se encaixa na estrutura de múltiplas etapas.
4.4 Fechamento e expectativa
Nosso raciocínio nos levou à expressão 8! × 5! × 3!. Vamos agora confirmar essa resposta nas alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) 20 × 8! + (3!)²
B) 8! × 5! × 3!
C) (8! × 5! × 3!) / 2⁸
D) (8! × 5! × 3!) / 2²
E) 16! / 2⁸
5.2 Justificativa Individual
- A) (🔴) Incorreta. A presença de uma soma indica uma aplicação incorreta do PFC (princípio aditivo em vez de multiplicativo).
- B) (🟢) Correta. Corresponde exatamente à expressão que encontramos, representando a multiplicação das permutações de cada gênero de filme.
- C), D), E) (🔴) Incorretas. A presença de divisões (/2⁸, /2²) sugere uma tentativa de descontar repetições ou pares, o que não se aplica aqui da maneira como está formulado. Por exemplo, 16! / 2⁸ poderia ser a resposta se ele simplesmente alugasse os 16 filmes em 8 pares de quaisquer gêneros, mas a estratégia impõe restrições que invalidam essa fórmula.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio 📌
A solução foi obtida ao enxergar o problema como a combinação de três tarefas independentes: ordenar os 8 filmes de ação, ordenar os 5 de comédia e ordenar os 3 de drama. O número de maneiras de realizar cada tarefa é dado por seu respectivo fatorial (8!, 5! e 3!). Pelo Princípio Fundamental da Contagem, o número total de formas é o produto desses fatoriais.
6.2 Gabarito Reafirmado 📌
A resposta correta é a alternativa B.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Quando um problema de contagem envolve ordenar diferentes grupos de objetos de forma independente, a dica é: calcule a permutação (fatorial) de cada grupo separadamente e depois multiplique todos os resultados. Isso simplifica o raciocínio.
