Questão 164, caderno azul do ENEM 2014

O psicólogo de uma empresa aplica um teste para analisar a aptidão de um candidato a determinado cargo. O teste consiste em uma série de perguntas cujas respostas devem ser verdadeiro ou falso e termina quando o psicólogo fizer a décima pergunta ou quando o candidato der a segunda resposta errada. Com base em testes anteriores, o psicólogo sabe que a probabilidade de o candidato errar uma resposta é 0,20.

A probabilidade de o teste terminar na quinta pergunta é

A) 0,02048.

B) 0,08192.

C) 0,24000.

D) 0,40960.

E) 0,49152.

Resolução em texto

📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão

Probabilidade (Eventos Independentes, Probabilidade Binomial)
Análise Combinatória (Combinação, para contar as posições dos erros)
Operações com Números Decimais

🎯 Tema/Objetivo Geral: Cálculo de probabilidade em um processo com condição de parada.

🎯 Nível da Questão: Difícil.

Detalhe: A questão é difícil porque a condição de término (“terminar na quinta pergunta”) é muito específica. Não basta calcular a probabilidade de 2 erros em 5 perguntas. É preciso garantir que o segundo erro ocorra exatamente na quinta pergunta, e o primeiro erro em uma das quatro anteriores. A necessidade de combinar a probabilidade de um resultado específico com a contagem das suas possíveis posições (Combinação) torna o problema complexo.

✅ Gabarito: B

A alternativa está correta porque representa a probabilidade de o candidato ter exatamente 1 erro nas 4 primeiras perguntas (o que pode ocorrer de 4 maneiras diferentes) e, obrigatoriamente, o 2º erro na 5ª pergunta.

📖 Resolução Passo a Passo

🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo

1.1 Transcrição Essencial 📌
“A probabilidade de o teste terminar na quinta pergunta é”

1.2 O que está sendo pedido? 📌
A questão pede para calcularmos a chance exata de o processo de perguntas parar na 5ª rodada.

1.3 Objetivo Cristalino 📌
Nosso objetivo é identificar a sequência de eventos que leva ao término do teste na 5ª pergunta e calcular a probabilidade dessa sequência acontecer.

1.4 Pergunta de Atenção ✔
Para o teste terminar na quinta pergunta, o que obrigatoriamente tem que acontecer na quinta pergunta? E o que tem que ter acontecido antes disso, nas quatro primeiras perguntas? Desvendar essa estrutura é a chave do problema!

📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários

2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos 📌
Para resolver este problema, precisamos de dois conceitos principais:

1. Probabilidade de Eventos Independentes:
- Quando temos uma sequência de eventos independentes (o resultado de uma pergunta não afeta a outra), a probabilidade de a sequência toda acontecer é o produto das probabilidades de cada evento individual.
- Regra do “E”: A probabilidade de A E B acontecerem é P(A) × P(B).
2. Probabilidades do Problema:
- Probabilidade de Errar (E): P(E) = 0,20
- Probabilidade de Acertar (A): Como só há duas opções, a probabilidade de acertar é o complementar. P(A) = 1 – P(E) = 1 – 0,20 = 0,80.
3. Combinação: Usaremos para contar de quantas maneiras um evento pode se distribuir em um número de tentativas.
- Fórmula: C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!), onde n é o número de tentativas e k é o número de sucessos (ou, no nosso caso, de erros).

📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema

3.1 Contextualização Simplificada 📌
Imagine um jogo: você responde perguntas de “Verdadeiro ou Falso”. O jogo acaba se você errar duas vezes ou se chegar na 10ª pergunta. A gente quer saber qual é a chance de o “Game Over” por dois erros acontecer exatamente na 5ª rodada.

3.2 Estratégia Geral 📌
Para o jogo terminar na 5ª pergunta, duas coisas precisam acontecer:

Condição 1 (Até a 4ª pergunta): O candidato precisa ter acumulado exatamente 1 erro e 3 acertos nas quatro primeiras perguntas. Ele não pode ter 2 erros (o jogo acabaria antes) nem 0 erros (o jogo não acabaria na 5ª com o segundo erro).
Condição 2 (Na 5ª pergunta): O candidato precisa cometer seu segundo erro exatamente na quinta pergunta.

Nossa estratégia será:

Calcular a probabilidade de uma sequência específica que satisfaça as condições (ex: E, A, A, A, E).
Calcular de quantas maneiras diferentes a Condição 1 (1 erro em 4 perguntas) pode ocorrer.
Multiplicar os resultados para encontrar a probabilidade total.

🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos

4.1 Passo a Passo Detalhado 📌
Vamos seguir a estratégia.

Passo A: Descrevendo o cenário de sucesso
- O cenário é: (1 erro e 3 acertos nas 4 primeiras perguntas) E (1 erro na 5ª pergunta).
Passo B: Calculando a probabilidade de UMA sequência específica
- Vamos pegar uma sequência de exemplo que satisfaz a condição: A, A, A, E, E.
- A probabilidade dessa sequência exata acontecer é:
- P(A) × P(A) × P(A) × P(E) × P(E)
- 0,8 × 0,8 × 0,8 × 0,2 × 0,2
- (0,8)³ × (0,2)² = 0,512 × 0,04 = 0,02048
Passo C: Contando de quantas maneiras a Condição 1 pode ocorrer
- O passo B calculou a chance de uma ordem específica. Mas o primeiro erro poderia ter acontecido na 1ª, 2ª, 3ª ou 4ª pergunta. As sequências poderiam ser:
  - E, A, A, A
  - A, E, A, A
  - A, A, E, A
  - A, A, A, E
- O número de maneiras de posicionar 1 erro em 4 tentativas é dado pela combinação C(4, 1).
- C(4, 1) = 4! / (1! * (4-1)!) = 4! / (1 * 3!) = (4 × 3 × 2 × 1) / (3 × 2 × 1) = 4.
- Existem 4 sequências possíveis para as quatro primeiras perguntas.
Passo D: Calculando a Probabilidade Total
- A probabilidade total é a soma das probabilidades de todas as sequências válidas. Como todas as 4 sequências têm a mesma probabilidade (0,02048), podemos simplesmente multiplicar.
- Probabilidade Total = (Número de sequências possíveis) × (Probabilidade de uma sequência)
- Probabilidade Total = 4 × 0,02048
- Probabilidade Total = 0,08192

4.2 Verificação Intermediária 📌
A lógica está correta. A probabilidade de o teste terminar na 5ª pergunta é a probabilidade de ter 1 erro nas 4 primeiras (C(4,1) × (0,8)³ × (0,2)¹) multiplicada pela probabilidade de errar na 5ª (0,2).
P = [C(4,1) × (0,8)³ × (0,2)] × 0,2 = [4 × 0,512 × 0,2] × 0,2 = 0,4096 × 0,2 = 0,08192. O cálculo está correto.

4.3 Possível armadilha ❓/ ✔
A principal armadilha é calcular a probabilidade de ter 2 erros em 5 perguntas usando a fórmula binomial C(5,2) × (0,8)³ × (0,2)². Isso daria 10 × 0,02048 = 0,2048, que não está nas alternativas. O erro aqui é que essa fórmula conta todas as maneiras de ter 2 erros em 5 perguntas, incluindo aquelas em que o teste terminaria antes da 5ª pergunta (ex: E, E, A, A, A).

4.4 Fechamento e expectativa
Nosso cálculo detalhado nos levou a uma probabilidade de 0,08192. Agora vamos confirmar essa resposta nas alternativas.

✅ Passo 5: Análise das Alternativas

5.1 Listagem das Alternativas
A) 0,02048.
B) 0,08192.
C) 0,24000.
D) 0,40960.
E) 0,49152.

5.2 Justificativa Individual

A) 0,02048 (🔴) Incorreta. Este é o valor da probabilidade de uma única sequência específica ocorrer (ex: A,A,A,E,E), mas esquece de contar que o primeiro erro pode ocorrer em 4 posições diferentes.
B) 0,08192 (🟢) Correta. Corresponde exatamente ao nosso cálculo, que considera todas as 4 maneiras de se ter o primeiro erro nas quatro primeiras perguntas, seguido obrigatoriamente pelo segundo erro na quinta.
C) 0,24000 (🔴) Incorreta. Sem uma lógica de erro clara.
D) 0,40960 (🔴) Incorreta. Este é o valor da probabilidade de se ter exatamente um erro nas quatro primeiras perguntas (C(4,1) × (0,8)³ × 0,2), mas esquece de multiplicar pela probabilidade de errar a quinta.
E) 0,49152 (🔴) Incorreta. Sem uma lógica de erro clara.

🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final

6.1 Resumo do Raciocínio 📌
A solução foi obtida ao decompor o evento “terminar na 5ª pergunta” em duas partes: 1) ter exatamente um erro e três acertos nas primeiras quatro perguntas e 2) errar a quinta pergunta. Calculamos a probabilidade de cada parte e multiplicamos, lembrando de usar a combinação C(4,1) para contar as diferentes posições possíveis do primeiro erro.

6.2 Gabarito Reafirmado 📌
A resposta correta é a alternativa B.

6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Em problemas de probabilidade com condições de parada, a dica é: quebre o problema em etapas sequenciais. Defina o que deve acontecer na etapa final e o que deve ter acontecido nas etapas anteriores para permitir que a etapa final ocorra.

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