O condomínio de um edifício permite que cada proprietário de apartamento construa um armário em sua vaga de garagem. O projeto da garagem, na escala 1 : 100, foi disponibilizado aos interessados já com as especificações das dimensões do armário, que deveria ter o formato de um paralelepípedo retângulo reto, com dimensões, no projeto, iguais a 3 cm, 1 cm e 2 cm.
O volume real do armário, em centímetros cúbicos, será
A) 6.
B) 600.
C) 6 000.
D) 60 000.
E) 6 000 000.
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Resolução em texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Espacial (Volume de um Paralelepípedo)
- Escala (Conceito e Aplicação)
- Operações Básicas (Multiplicação)
🎯 Tema/Objetivo Geral: Cálculo de volume real a partir de dimensões em escala.
🎯 Nível da Questão: Médio.
- Detalhe: A questão é de nível médio porque, embora os cálculos sejam simples, ela possui uma armadilha conceitual muito comum: o cálculo do volume. Muitos alunos calculam o volume na escala e depois tentam converter para o volume real, o que leva a um erro com as unidades cúbicas. O caminho correto e mais seguro é converter as dimensões primeiro e só depois calcular o volume.
✅ Gabarito: E
- A alternativa está correta porque, ao converter as dimensões do projeto para a realidade usando a escala (300 cm, 100 cm, 200 cm) e depois calcular o volume, obtemos 6.000.000 cm³.
📖 Resolução Passo a Passo
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial 📌
“O volume real do armário, em centímetros cúbicos, será”
1.2 O que está sendo pedido? 📌
A questão pede para calcularmos o volume do armário no seu tamanho real, e não no tamanho do desenho.
1.3 Objetivo Cristalino 📌
Nossa missão é usar a escala para “traduzir” as dimensões do projeto para as dimensões reais e, com essas medidas reais, calcular o volume do armário.
1.4 Pergunta de Atenção ✔
Você sabe o que significa uma escala 1 : 100? Significa que cada 1 cm no desenho representa 100 cm na vida real. Essa é a chave para toda a questão!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos 📌
Para resolver este problema, precisamos de dois conceitos fundamentais:
- 1. Escala Numérica:
- É uma relação que nos diz quantas vezes o objeto real foi reduzido para caber no desenho.
- Formato: Escala = Medida no Desenho / Medida Real
- Escala 1 : 100: Significa que 1 / 100 = Desenho / Real, ou seja, a Medida Real = Medida no Desenho × 100. Cada centímetro no projeto corresponde a 100 centímetros na realidade.
- 2. Volume de um Paralelepípedo Retângulo:
- É o produto de suas três dimensões: altura, comprimento e largura.
- Fórmula: Volume = Altura × Comprimento × Largura
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada 📌
Imagine que você recebeu a planta baixa da sua garagem para construir um armário. O desenho é pequeno, claro, e as medidas nele são 3 cm, 1 cm e 2 cm. O problema te diz que o desenho foi feito em uma escala de “redução 100 vezes”. Nossa tarefa é descobrir qual será o volume do armário de verdade, em tamanho real, quando ele for construído na garagem.
3.2 Estratégia Geral 📌
A estratégia mais segura e que evita armadilhas é:
- Converter primeiro, calcular depois: Pegar cada uma das três dimensões do projeto e multiplicá-las pelo fator de escala (100) para encontrar as dimensões reais.
- Calcular o volume: Com as três dimensões reais em mãos, multiplicá-las para encontrar o volume real.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado 📌
Vamos aplicar nossa estratégia, um passo de cada vez.
- Passo A: Converter as dimensões do projeto para as dimensões reais
- A escala é 1 : 100, então o fator de multiplicação é 100.
- Dimensões no projeto: 3 cm, 1 cm, 2 cm.
- Dimensão Real 1 = 3 cm × 100 = 300 cm
- Dimensão Real 2 = 1 cm × 100 = 100 cm
- Dimensão Real 3 = 2 cm × 100 = 200 cm
- Passo B: Calcular o volume real
- Agora, usamos as dimensões reais na fórmula do volume:
- Volume Real = 300 cm × 100 cm × 200 cm
- Volume Real = (3 × 100) × (1 × 100) × (2 × 100)
- Volume Real = (3 × 1 × 2) × (100 × 100 × 100)
- Volume Real = 6 × 1.000.000
- Volume Real = 6.000.000 cm³
4.2 Verificação Intermediária 📌
O resultado é um número grande, o que é esperado, já que estamos calculando um volume em centímetros cúbicos. Um armário real tem um volume considerável nessa unidade.
4.3 Possível armadilha ❓/ ✔
A armadilha mais clássica em problemas de escala e volume é calcular o volume no desenho primeiro e depois tentar converter. Veja o que aconteceria:
- Volume no projeto = 3 cm × 1 cm × 2 cm = 6 cm³.
- Aí você pensa: “Vou multiplicar o resultado por 100”. 6 × 100 = 600. Essa é a alternativa B.
- Ou você pensa: “Vou multiplicar por 100 para cada dimensão, então 100 x 100 x 100”. 6 × 100³ = 6 × 1.000.000 = 6.000.000. Esse caminho leva à resposta certa, mas é conceitualmente mais perigoso.
É muito mais seguro converter as dimensões lineares primeiro!
4.4 Fechamento e expectativa
Nosso cálculo nos levou a um volume real de 6.000.000 cm³. Agora vamos confirmar essa resposta nas alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) 6.
B) 600.
C) 6 000.
D) 60 000.
E) 6 000 000.
5.2 Justificativa Individual
- A) 6 (🔴) Incorreta. Este é o volume do armário no projeto (3 × 1 × 2), não o volume real.
- B) 600 (🔴) Incorreta. Este é o resultado de calcular o volume no projeto (6) e multiplicar por 100 apenas uma vez. Ignora que o fator 100 se aplica a cada uma das três dimensões.
- C) 6 000 (🔴) Incorreta. Provavelmente resultado de multiplicar o volume do projeto (6) por 1000, talvez por uma confusão com conversão de m³ para L.
- D) 60 000 (🔴) Incorreta. Provavelmente resultado de multiplicar o volume do projeto (6) por 10.000 (100²). Um erro no expoente da conversão.
- E) 6 000 000 (🟢) Correta. Corresponde exatamente ao nosso cálculo, que primeiro converteu as dimensões para a realidade e depois calculou o volume.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio 📌
A solução foi obtida ao converter cada uma das três dimensões do projeto (3 cm, 1 cm, 2 cm) para as dimensões reais, multiplicando-as pelo fator de escala 100, resultando em 300 cm, 100 cm e 200 cm. O produto dessas três dimensões nos deu o volume real.
6.2 Gabarito Reafirmado 📌
A resposta correta é a alternativa E.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
A dica de ouro para problemas de escala envolvendo área ou volume é: primeiro, converta as medidas lineares (comprimento, largura, altura) para a escala real. Só depois calcule a área ou o volume. Isso evita confusões com os fatores de escala ao quadrado (para áreas) ou ao cubo (para volumes).
