Ao final de uma competição de ciências em uma escola, restaram apenas três candidatos. De acordo com as regras, o vencedor será o candidato que obtiver a maior média ponderada entre as notas das provas finais nas disciplinas química e física, considerando, respectivamente, os pesos 4 e 6 para elas. As notas são sempre números inteiros. Por questões médicas, o candidato II ainda não fez a prova final de química. No dia em que sua avaliação for aplicada, as notas dos outros dois candidatos, em ambas as disciplinas, já terão sido divulgadas.
O quadro apresenta as notas obtidas pelos finalistas nas provas finais.
A menor nota que o candidato II deverá obter na prova final de química para vencer a competição é
A) 18.
B) 19.
C) 22.
D) 25.
E) 26.
Resolução em texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Estatística (Média Ponderada)
- Álgebra (Resolução de Inequações de 1º Grau)
- Interpretação de Enunciado e Tabelas
🎯 Tema/Objetivo Geral: Cálculo da Média Ponderada e resolução de inequação para determinar uma condição de vitória.
🎯 Nível da Questão: Médio.
- Detalhe: A questão é de nível médio porque não se trata apenas de calcular médias, mas de usar o conceito de média ponderada para estabelecer uma condição (vencer a competição) e traduzir isso em uma inequação. A manipulação algébrica e a interpretação correta do resultado da inequação (o que significa “ser maior que”) são passos cruciais que elevam a dificuldade.
✅ Gabarito: A
- A alternativa está correta porque, para superar a maior média dos concorrentes (21,8), o candidato II precisa de uma nota X em Química que resulte em uma média ponderada maior que 21,8. Isso leva à inequação X > 17, e como a nota é um número inteiro, a menor nota possível é 18.
📖 Resolução Passo a Passo
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial 📌
“A menor nota que o candidato II deverá obter na prova final de química para vencer a competição é”
1.2 O que está sendo pedido? 📌
A questão quer que a gente descubra qual é a nota mínima (um número inteiro) que o candidato II precisa tirar em Química para que sua média ponderada final seja a maior entre os três competidores.
1.3 Objetivo Cristalino 📌
Nosso objetivo é:
- Calcular as médias ponderadas dos candidatos I e III.
- Identificar a maior dessas duas médias, que será a “meta a ser batida”.
- Montar a expressão da média do candidato II e criar uma inequação, forçando sua média a ser maior que a meta.
- Resolver a inequação para encontrar o valor mínimo de X.
1.4 Pergunta de Atenção ✔
Você se lembra de como se calcula a média ponderada? Não é só somar as notas e dividir por 2! O peso de cada disciplina muda a importância de cada nota na média final.
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos 📌
A ferramenta central para esta questão é a Média Ponderada.
- Média Ponderada: É uma média na qual cada valor (nota) é multiplicado por um “peso” que representa sua importância. O resultado é dividido pela soma dos pesos.
- Fórmula Geral: Média Ponderada = (Nota₁ × Peso₁ + Nota₂ × Peso₂ + … ) / (Peso₁ + Peso₂ + …)
- Dados do Problema:
- Nota de Química (Q) tem Peso 4.
- Nota de Física (F) tem Peso 6.
- Soma dos Pesos = 4 + 6 = 10.
- Fórmula para este problema: Média = (NotaQ × 4 + NotaF × 6) / 10
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada 📌
Imagine uma competição com duas provas. A prova de Física vale mais (peso 6) que a de Química (peso 4). Os candidatos I e III já fizeram as duas provas, e suas notas finais estão na mesa. O candidato II já sabe sua nota de Física, mas ainda vai fazer a de Química. Ele pergunta: “Qual é a nota mínima que eu preciso tirar em Química para ser o campeão?”. Nossa tarefa é fazer as contas e dar essa resposta a ele.
3.2 Estratégia Geral 📌
O plano de ataque será uma sequência lógica:
- Calcular a média ponderada do Candidato I.
- Calcular a média ponderada do Candidato III.
- Determinar qual dos dois tem a maior média (esta é a pontuação a ser superada).
- Montar a inequação para a média do Candidato II, fazendo-a ser maior que a pontuação a ser superada.
- Resolver a inequação e encontrar a menor nota inteira X que a satisfaz.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado 📌
Vamos executar a estratégia.
- Passo A: Calcular a média do Candidato I
- Notas: Química (Q) = 20, Física (F) = 23.
- Média_I = (20 × 4 + 23 × 6) / 10
- Média_I = (80 + 138) / 10 = 218 / 10
- Média_I = 21,8
- Passo B: Calcular a média do Candidato III
- Notas: Química (Q) = 21, Física (F) = 18.
- Média_III = (21 × 4 + 18 × 6) / 10
- Média_III = (84 + 108) / 10 = 192 / 10
- Média_III = 19,2
- Passo C: Definir a meta para o Candidato II
- Comparando as médias, a maior é a do Candidato I: 21,8.
- Para vencer, o Candidato II precisa ter uma média maior que 21,8.
- Passo D: Montar e resolver a inequação para o Candidato II
- Notas do Candidato II: Química (Q) = X, Física (F) = 25.
- A média dele deve ser > 21,8:
- (X × 4 + 25 × 6) / 10 > 21,8
- (4X + 150) / 10 > 21,8
- Multiplicamos ambos os lados por 10 para eliminar o denominador:
- 4X + 150 > 218
- Subtraímos 150 de ambos os lados:
- 4X > 218 – 150
- 4X > 68
- Dividimos ambos os lados por 4:
- X > 68 / 4
- X > 17
- Passo E: Encontrar a menor nota inteira
- A inequação diz que X deve ser estritamente maior que 17.
- Como as notas são números inteiros, o primeiro inteiro maior que 17 é 18.
- Portanto, a menor nota que o Candidato II precisa tirar é 18.
4.2 Verificação Intermediária 📌
Vamos testar com X=18. A média do Candidato II seria (18×4 + 25×6) / 10 = (72 + 150) / 10 = 222 / 10 = 22,2.
Como 22,2 > 21,8, ele venceria a competição. Se ele tirasse 17, sua média seria 21,8, e ele empataria, mas não venceria. O cálculo está correto.
4.3 Possível armadilha ❓/ ✔
A principal armadilha é interpretar mal a palavra “vencer”. Vencer significa ter uma nota estritamente maior, não igual. Por isso, usamos o sinal > na inequação, e não ≥. Se você usasse ≥, encontraria X ≥ 17 e poderia erroneamente pensar que 17 seria a resposta. Outra armadilha seria esquecer de dividir pela soma dos pesos (10).
4.4 Fechamento e expectativa
Nosso cálculo nos levou a uma nota mínima de 18. Agora vamos procurar essa resposta nas alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) 18.
B) 19.
C) 22.
D) 25.
E) 26.
5.2 Justificativa Individual
- A) 18 (🟢) Correta. É o menor número inteiro que satisfaz a condição X > 17, garantindo a vitória do Candidato II.
- B) 19 (🔴) Incorreta. Com a nota 19, o candidato também venceria, mas não seria a menor nota possível para vencer.
- C) 22 (🔴) Incorreta. Também garante a vitória, mas está longe de ser a nota mínima.
- D) 25 (🔴) Incorreta. Com 25, a média seria 25, o que garante a vitória, mas não é a mínima.
- E) 26 (🔴) Incorreta. Idem.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio 📌
Calculamos as médias ponderadas dos candidatos I e III para encontrar a maior pontuação (21,8). Em seguida, montamos uma inequação para a média do candidato II, estipulando que ela deveria ser maior que 21,8. A resolução dessa inequação nos mostrou que a nota X de química deveria ser maior que 17, sendo 18 a menor nota inteira possível.
6.2 Gabarito Reafirmado 📌
A resposta correta é a alternativa A.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Em problemas de “condição para vencer”, a palavra-chave é inequação. Transforme a condição (“ser maior que”, “ser pelo menos”, etc.) em um símbolo matemático (>, ≥) e resolva para a variável desconhecida.
