O acesso entre os dois andares de uma casa é feito através de uma escada circular (escada caracol), representada na figura. Os cincos A, B, C, D, E sobre o corrimão estão igualmente espaçados, e os pontos P, A e E estão em uma mesma reta. Nessa escada, uma pessoa caminha deslizando ponto A até o ponto D.
A figura que melhor representa a projeção ortogonal, sobre o piso da casa (plano), do caminho percorrido pela mão dessa pessoa é:
Resolução em texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Espacial (Projeção Ortogonal)
- Visualização Espacial
- Geometria Plana (Arco de Circunferência)
🎯 Tema/Objetivo Geral: Projeção ortogonal de uma trajetória helicoidal.
🎯 Nível da Questão: Médio.
- Detalhe: A questão é de nível médio porque não envolve cálculos, mas exige uma habilidade de visualização 3D bem desenvolvida. O candidato precisa “olhar de cima” para a escada e entender como o movimento tridimensional se transforma em uma figura bidimensional no chão. A principal dificuldade é não confundir a forma da escada com a forma de sua projeção.
✅ Gabarito: C
- A alternativa está correta porque a projeção do caminho percorrido, que corresponde a três quartos de uma volta na escada, resulta em um arco de circunferência de 270°.
📖 Resolução Passo a Passo
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial 📌
“A figura que melhor representa a projeção ortogonal, sobre o piso da casa (plano), do caminho percorrido pela mão dessa pessoa é:”
1.2 O que está sendo pedido? 📌
A questão nos pede para desenhar a “sombra” que o caminho da mão da pessoa faria no chão, se uma luz estivesse brilhando exatamente de cima para baixo.
1.3 Objetivo Cristalino 📌
Nosso objetivo é transformar a trajetória tridimensional da mão (que sobe e gira) em uma figura bidimensional no plano do chão.
1.4 Pergunta de Atenção ✔
Você já pensou qual é a sombra de uma mola de caderno se você a colocar de pé sobre uma mesa e iluminar com uma lanterna bem de cima? Entender isso é a chave para resolver a questão!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos 📌
Para resolver este problema, o conceito fundamental é o de Projeção Ortogonal.
- Projeção Ortogonal: É o processo de “achatar” um objeto 3D em uma superfície 2D (um plano), como se estivéssemos olhando para ele de um ponto de vista perfeitamente perpendicular à superfície.
- Analogia Perfeita: Imagine o sol do meio-dia, exatamente a pino (no zênite). A sombra que um objeto projeta no chão é a sua projeção ortogonal.
- Efeito Prático: Ao projetar no chão (plano XY), nós essencialmente ignoramos a dimensão da altura (eixo Z). Só nos importamos com o movimento “para os lados”.
- Escada Caracol (Hélice): A trajetória do corrimão de uma escada caracol é uma curva chamada hélice. Uma característica importante da hélice é que, em cada ponto, ela está a uma distância constante do eixo central. Por causa disso, sua projeção ortogonal em um plano perpendicular ao eixo (como o chão) é sempre uma circunferência ou um arco de circunferência.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada 📌
A pessoa está subindo a escada, e sua mão se move de A para D. Esse movimento é em 3D: a mão sobe e gira ao mesmo tempo. A questão nos pede para esquecer a parte em que a mão “sobe” e desenhar apenas a parte em que ela “gira”, como se fosse vista de cima por uma câmera no teto.
3.2 Estratégia Geral 📌
O plano de ataque será:
- Entender que a projeção do corrimão inteiro no chão forma um círculo.
- Analisar a distribuição dos pontos A, B, C, D e E para descobrir qual a fração do círculo o caminho de A até D representa.
- Identificar a alternativa que corresponde a essa fração do círculo.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado 📌
Vamos aplicar nossa estratégia, analisando as informações do enunciado.
- Passo A: Determinando o ângulo total da escada
- O enunciado diz que “os pontos P, A e E estão em uma mesma reta”. Como P está no chão e A e E no corrimão, isso significa que P é a projeção de A e E no chão. Se o ponto E está verticalmente alinhado com o ponto A, isso indica que a escada deu uma volta completa de 360° do ponto A ao ponto E.
- Passo B: Determinando o ângulo de cada seção
- O enunciado diz que os pontos “A, B, C, D, E sobre o corrimão estão igualmente espaçados“.
- A volta completa de 360° (de A até E) é dividida em 4 seções iguais: A→B, B→C, C→D e D→E.
- O ângulo da projeção de cada seção é: 360° / 4 = 90°.
- Cada passo de uma letra para a seguinte corresponde a uma “curva” de 90° no chão.
- Passo C: Determinando o caminho percorrido (A até D)
- A pessoa caminha de A até D. Esse percurso inclui 3 seções: A→B, B→C e C→D.
- O ângulo total da projeção desse caminho é a soma dos ângulos de cada seção:
- Ângulo Total = 90° (A→B) + 90° (B→C) + 90° (C→D) = 270°.
- Passo D: Visualizando a figura final
- A projeção do caminho é um arco de circunferência de 270°.
- Um círculo completo tem 360°. Um arco de 270° corresponde a 270/360 = 3/4 de um círculo completo.
4.2 Verificação Intermediária 📌
O resultado é um arco que corresponde a três quartos de um círculo. Visualmente, é um círculo com uma “fatia de pizza” de 90° faltando.
4.3 Possível armadilha ❓/ ✔
A principal armadilha é a Alternativa D, que mostra uma espiral. Muitas pessoas associam “escada caracol” com “espiral”. No entanto, a projeção ortogonal de uma hélice (onde o raio é constante) é um círculo, enquanto uma espiral é uma curva cujo raio muda (ela se aproxima ou se afasta do centro). Como a distância do corrimão ao eixo central da escada é constante, a projeção no chão deve ser um arco de círculo, e não uma espiral.
4.4 Fechamento e expectativa
Nossa análise nos levou a uma figura que é um arco de 270°. Vamos procurar essa forma nas alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
- A) (🔴) Incorreta. Representa um arco de 90° (1/4 de círculo). Seria a projeção do caminho de A até B.
- B) (🔴) Incorreta. Representa um arco de 180° (meio círculo). Seria a projeção do caminho de A até C.
- C) (🟢) Correta. Representa um arco de 270° (3/4 de círculo). É exatamente a projeção do caminho de A até D que calculamos.
- D) (🔴) Incorreta. Representa uma espiral. Como vimos, essa é a armadilha. A projeção de uma hélice não é uma espiral.
- E) (🔴) Incorreta. Representa uma curva com um laço (uma lemniscata ou similar), que não corresponde à projeção de um movimento helicoidal simples.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio 📌
A solução foi obtida ao entender que a projeção ortogonal de uma trajetória helicoidal (escada caracol) no chão é um arco de circunferência. Analisando a disposição dos pontos, concluímos que o percurso de A até E representa uma volta completa (360°), e como os pontos são igualmente espaçados, o caminho de A até D corresponde a 3/4 dessa volta, ou seja, um arco de 270°.
6.2 Gabarito Reafirmado 📌
A resposta correta é a alternativa C.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Lembre-se da regra de ouro da projeção: a projeção ortogonal de um objeto no chão “ignora” a dimensão da altura e mostra apenas sua forma vista de cima. Para uma hélice de raio constante, essa forma é sempre um círculo ou um arco de círculo.
