Uma pessoa possui um espaço retangular de lados 11,5 m e 14 m no quintal de sua casa e pretende fazer um pomar doméstico de maçãs. Ao pesquisar sobre o plantio dessa fruta, descobriu que as mudas de maçã devem ser plantadas em covas com uma única muda e com espaçamento mínimo de 3 metros entre elas e entre elas e as laterais do terreno. Ela sabe que conseguirá plantar um número maior de mudas em seu pomar se dispuser as covas em filas alinhadas paralelamente ao lado de maior extensão.
O número máximo de mudas que essa pessoa poderá plantar no espaço disponível é
A) 4.
B) 8.
C) 9.
D) 12.
E) 20.
Resolução em texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Plana (Área e Dimensões de Retângulos)
- Raciocínio Espacial e Otimização
- Aritmética (Divisão e Multiplicação)
- Teorema de Pitágoras (ou altura do triângulo equilátero, para a solução ótima)
🎯 Tema/Objetivo Geral: Maximização do número de itens em um espaço com restrições de espaçamento.
🎯 Nível da Questão: Médio.
- Detalhe: A questão é de nível médio porque a solução mais óbvia (um arranjo em grade retangular) não leva à resposta correta. Para encontrar o número máximo de mudas, é preciso considerar um arranjo mais eficiente (intercalado), o que exige um raciocínio espacial mais apurado. A interpretação correta das restrições de espaçamento é o ponto crucial.
✅ Gabarito: C
- A alternativa está correta porque a disposição mais eficiente das mudas permite a criação de 3 fileiras, cada uma com 3 mudas, totalizando 9 mudas no espaço disponível.
📖 Resolução Passo a Passo
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial 📌
“O número máximo de mudas que essa pessoa poderá plantar no espaço disponível é”
1.2 O que está sendo pedido? 📌
A questão pede para calcularmos a quantidade máxima de mudas que cabem no terreno, obedecendo a todas as regras de espaçamento.
1.3 Objetivo Cristalino 📌
Nossa missão é primeiro definir a “área útil” para o plantio e depois descobrir a melhor maneira de arranjar as mudas dentro dessa área para que caiba o maior número possível.
1.4 Pergunta de Atenção ✔
Você percebeu que o espaçamento de 3 metros vale para a distância entre as mudas E para a distância delas até a borda do terreno? Isso significa que não podemos plantar nada perto das laterais, criando uma “margem de segurança”. Isso muda tudo!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos 📌
Para resolver este problema, precisamos entender dois conceitos-chave:
- 1. Área Plantável: É a área real onde podemos colocar as covas. Para encontrá-la, devemos pegar o terreno total e subtrair a “margem de segurança” de 3 metros de cada lado.
- 2. Arranjo de Plantio: Existem duas formas principais de dispor as mudas:
- Arranjo Retangular (ou em Quadrado): As mudas são plantadas em uma grade perfeita, como casas em um tabuleiro de xadrez. A distância entre as fileiras é a mesma distância entre as mudas (3 metros).
- Arranjo Triangular (ou Intercalado/Hexagonal): As mudas de uma fileira são plantadas nos “vãos” da fileira anterior. Este arranjo é mais eficiente e permite colocar as fileiras mais próximas umas das outras, aumentando o número total de plantas. A distância entre as fileiras será a altura de um triângulo equilátero de lado 3m.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada 📌
Temos um terreno retangular. Primeiro, precisamos “pintar uma faixa” de 3 metros de largura em toda a borda do terreno, onde não podemos plantar nada. No retângulo menor que sobra no meio, vamos colocar as mudas. A questão nos dá uma dica: fazer as fileiras paralelas ao lado maior é melhor. Nossa tarefa é descobrir qual o arranjo mais inteligente (retangular ou triangular) para caber o máximo de mudas nesse espaço.
3.2 Estratégia Geral 📌
O plano de ataque será:
- Calcular as dimensões da área plantável, subtraindo as margens.
- Calcular quantas mudas cabem em uma única fileira (ao longo da maior dimensão da área plantável).
- Calcular quantas fileiras cabem (ao longo da menor dimensão da área plantável), testando o arranjo triangular, que é o mais eficiente.
- Multiplicar o número de mudas por fileira pelo número de fileiras para obter o total máximo.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado 📌
Vamos executar a estratégia, um passo de cada vez.
- Passo A: Definir a Área Plantável
- Dimensões do terreno: 14 m × 11,5 m.
- Margem de segurança: 3 m de cada lado.
- Nova dimensão maior: 14 – 3 (esquerda) – 3 (direita) = 8 m.
- Nova dimensão menor: 11,5 – 3 (cima) – 3 (baixo) = 5,5 m.
- Nossa área útil para plantio é um retângulo de 8 m × 5,5 m.
- Passo B: Calcular o número de mudas por fileira
- A dica é alinhar as fileiras paralelamente ao lado maior do terreno (14 m). Portanto, o comprimento de cada fileira será a dimensão útil de 8 m.
- A primeira muda ocupa a posição 0.
- A segunda muda fica a 3 m da primeira, na posição 3 m.
- A terceira muda fica a 3 m da segunda, na posição 3 + 3 = 6 m.
- Uma quarta muda ficaria a 6 + 3 = 9 m, o que ultrapassa os 8 m disponíveis.
- Logo, cabem no máximo 3 mudas por fileira.
- Passo C: Calcular o número de fileiras (usando o arranjo otimizado)
- O espaço disponível para empilhar as fileiras é a outra dimensão, de 5,5 m.
- Para maximizar, usamos o arranjo triangular. A distância vertical entre as fileiras será a altura (h) de um triângulo equilátero de lado 3 m.
- h = (lado × √3) / 2 = (3 × √3) / 2. Usando a aproximação √3 ≈ 1,73:
- h ≈ (3 × 1,73) / 2 = 5,19 / 2 ≈ 2,6 m.
- Vamos ver quantas fileiras cabem no espaço de 5,5 m:
- Fileira 1: na posição 0.
- Fileira 2: a 2,6 m da primeira, na posição 2,6 m.
- Fileira 3: a 2,6 m da segunda, na posição 2,6 + 2,6 = 5,2 m. Esta posição ainda está dentro dos 5,5 m disponíveis.
- Uma quarta fileira ficaria a 5,2 + 2,6 = 7,8 m, o que não cabe.
- Logo, cabem no máximo 3 fileiras.
- Passo D: Calcular o total de mudas
- Temos 3 fileiras e cada fileira pode conter 3 mudas.
- Total de mudas = 3 fileiras × 3 mudas/fileira = 9 mudas.
4.2 Verificação Intermediária 📌
O resultado de 9 mudas é obtido com o arranjo mais denso possível. Se usássemos o arranjo retangular, a distância entre as fileiras seria de 3m. No espaço de 5,5m, só caberiam 2 fileiras (0 e 3), resultando em 2 × 3 = 6 mudas. Como a questão pede o número máximo, a resposta de 9 mudas, vinda do arranjo triangular, é a correta.
4.3 Possível armadilha ❓/ ✔
A principal armadilha é usar o arranjo retangular (não otimizado), que leva ao resultado de 6 mudas. Outra armadilha comum é esquecer de subtrair a margem de segurança dos dois lados de cada dimensão, trabalhando com um espaço útil maior do que o real.
4.4 Fechamento e expectativa
Nossa análise cuidadosa e otimizada do espaço nos levou a um total de 9 mudas. Vamos agora procurar essa resposta nas alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) 4.
B) 8.
C) 9.
D) 12.
E) 20.
5.2 Justificativa Individual
- A) 4 (🔴) Incorreta. Provavelmente resultado de um erro de cálculo, talvez um arranjo 2×2.
- B) 8 (🔴) Incorreta. É um distrator interessante. Em alguns arranjos triangulares, as fileiras intercaladas têm uma muda a menos. Se isso acontecesse (3 + 2 + 3), o total seria 8. No entanto, o espaço de 8m é suficiente para acomodar 3 mudas mesmo na fileira intercalada.
- C) 9 (🟢) Correta. Corresponde exatamente ao nosso cálculo do arranjo mais eficiente (3 fileiras de 3 mudas).
- D) 12 (🔴) Incorreta. Para ter 12 mudas, precisaríamos de 4 fileiras de 3 mudas, mas vimos que só cabem 3 fileiras.
- E) 20 (🔴) Incorreta. Um valor muito alto, que desconsidera as restrições de espaçamento.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio 📌
A solução foi obtida ao primeiro determinar a área efetivamente plantável (8m x 5,5m). Em seguida, calculamos o número máximo de mudas por fileira (3) e o número máximo de fileiras usando o arranjo triangular, que é mais denso (3). O produto desses valores nos deu o número máximo de mudas.
6.2 Gabarito Reafirmado 📌
A resposta correta é a alternativa C, um total de 9 mudas.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Em problemas de maximização de itens em uma área, a chave é: 1) Delimite corretamente a área útil, descontando as margens. 2) Considere que um arranjo intercalado (triangular) é quase sempre mais eficiente que um arranjo em grade retangular.
