Em um experimento, uma cultura de bactérias tem sua população reduzida pela metade a cada hora, devido à ação de um agente bactericida.
Neste experimento, o número de bactérias em função do tempo pode ser modelado por uma função do tipo
A) afim.
B) seno.
C) cosseno.
D) logarítmica crescente.
E) exponencial.
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Função Exponencial
- Modelagem Matemática
Tema/Objetivo Geral: Identificação de Modelos Matemáticos para Descrever Fenômenos Naturais.
Nível da Questão: Fácil – A questão é conceitual e não exige nenhum cálculo. A descrição do problema (“reduzida pela metade a cada hora”) corresponde diretamente à definição de um decaimento exponencial, tornando a identificação do tipo de função direta para quem conhece as características básicas de cada função.
Gabarito: E) exponencial. A população é multiplicada por um fator constante (1/2) a cada intervalo de tempo fixo (uma hora), que é a definição exata de um comportamento modelado por uma função exponencial.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial
“o número de bactérias em função do tempo pode ser modelado por uma função do tipo”
O que está sendo pedido?
O exercício pede para identificarmos qual família de funções matemáticas (afim, seno, exponencial, etc.) descreve corretamente a maneira como a população de bactérias diminui ao longo do tempo.
Objetivo Cristalino
Vamos analisar o padrão de redução da população descrito no enunciado e associá-lo às características de cada tipo de função listada nas alternativas.
Pergunta de Atenção
Você se lembra da diferença fundamental entre algo que diminui uma quantidade fixa (ex: perder 100 bactérias a cada hora) e algo que diminui uma proporção fixa (ex: perder metade da população a cada hora)? Essa é a chave para distinguir uma função afim de uma exponencial!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
Definições e Fórmulas / explicação de termos
Vamos revisar as características de cada tipo de função mencionada:
- Função Afim (ou do 1º Grau): f(x) = ax + b. Descreve um crescimento ou decrescimento linear, ou seja, a cada passo, uma quantidade fixa é somada ou subtraída. Graficamente, é uma reta.
- Exemplo: Uma vela que diminui 2 cm de altura a cada hora.
- Função Exponencial: f(x) = a * bˣ. Descreve um crescimento ou decrescimento onde, a cada passo, a quantidade é multiplicada por um fator constante.
- Decaimento (nosso caso): Ocorre quando o fator b está entre 0 e 1. A cada passo, a quantidade diminui proporcionalmente ao que já existe. Ex: reduzir pela metade (multiplicar por 1/2).
- Crescimento: Ocorre quando b > 1. Ex: dobrar a cada hora (multiplicar por 2).
- Função Seno e Cosseno (Trigonométricas): Descrevem fenômenos periódicos e oscilatórios, que se repetem em ciclos ou “ondas”. Ex: o movimento de um pêndulo ou as marés.
- Função Logarítmica: f(x) = log_b(x). É a função inversa da exponencial. Ela normalmente responde a perguntas como: “Quanto tempo leva para algo atingir um certo valor?”.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada
Vamos criar um exemplo numérico para deixar o comportamento claro. Imagine que começamos com 800 bactérias.
- Após 1 hora: A população é reduzida pela metade. Teremos 800 * (1/2) = 400 bactérias.
- Após 2 horas: A nova população é reduzida pela metade. Teremos 400 * (1/2) = 200 bactérias.
- Após 3 horas: A nova população é reduzida pela metade. Teremos 200 * (1/2) = 100 bactérias.
A operação que se repete a cada hora é uma multiplicação por 1/2.
Estratégia Geral
Nossa estratégia será identificar qual das funções descritas no Passo 2 tem como característica principal a multiplicação repetida por um fator constante.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
Passo a Passo Detalhado
Vamos formalizar o exemplo anterior para encontrar a fórmula geral.
Seja P(t) a população no tempo t (em horas) e P₀ a população inicial.
- No tempo t=0, P(0) = P₀
- No tempo t=1, P(1) = P(0) * (1/2) = P₀ * (1/2)¹
- No tempo t=2, P(2) = P(1) * (1/2) = [P₀ * (1/2)] * (1/2) = P₀ * (1/2)²
- No tempo t=3, P(3) = P(2) * (1/2) = [P₀ * (1/2)²] * (1/2) = P₀ * (1/2)³
Observando o padrão, podemos generalizar para um tempo t qualquer:
P(t) = P₀ * (1/2)ᵗ
Verificação Intermediária
A fórmula que encontramos, P(t) = P₀ * (1/2)ᵗ, tem a variável t (tempo) no expoente.
Possível armadilha
A armadilha mais comum é confundir uma redução proporcional (multiplicativa) com uma redução absoluta (subtrativa). Se o problema dissesse “a população diminui em 1000 bactérias a cada hora”, teríamos uma taxa de variação constante, o que seria uma função afim (reta). Mas como a redução é “pela metade”, a quantidade que diminui a cada hora é diferente (primeiro diminui 400, depois 200, etc.), o que descarta o modelo linear.
Fechamento e expectativa
A função que modela o problema tem a forma y = a * bˣ, que é a definição exata de uma função exponencial. Portanto, esperamos encontrar essa opção nas alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
Listagem das Alternativas
A) afim.
B) seno.
C) cosseno.
D) logarítmica crescente.
E) exponencial.
Justificativa Individual
- A) afim. 🔴 Incorreta. Uma função afim representa uma variação constante (soma ou subtração de um valor fixo), enquanto o problema descreve uma variação proporcional (multiplicação por um fator fixo).
- B) seno. 🔴 Incorreta. A população de bactérias está sempre diminuindo. Não há nenhum comportamento cíclico ou oscilatório que justifique o uso da função seno.
- C) cosseno. 🔴 Incorreta. Assim como a função seno, a função cosseno descreve um comportamento periódico, o que não ocorre no problema.
- D) logarítmica crescente. 🔴 Duplamente incorreta. Primeiro, a população está diminuindo, então o modelo não poderia ser crescente. Segundo, a função logarítmica seria usada para responder “em quanto tempo a população atingirá X?”, e não para descrever “qual a população no tempo X?”.
- E) exponencial. 🟢 Correta. A população é multiplicada por um fator constante (1/2) a cada intervalo de tempo. Esse comportamento é a definição de uma função exponencial, com a variável (tempo) no expoente.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio
O problema descreve que a população de bactérias é repetidamente multiplicada por um fator constante (1/2) a cada hora. Esse padrão de multiplicação sucessiva é a característica fundamental de uma função exponencial, cuja forma geral é P(t) = P₀ * (fator)ᵗ.
Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a E) exponencial.
Resumo Final para Revisão 🔍
Uma dica para nunca mais errar: se o problema fala em “dobrar”, “reduzir pela metade”, “aumentar X%” ou “diminuir Y%” a cada período, é um forte indício de função exponencial. Se fala em “aumentar X unidades” ou “diminuir Y unidades” a cada período, é um sinal de função afim..
