Uma fábrica de brinquedos educativos vende uma caixa com fichas pretas e fichas brancas para compor sequências de figuras seguindo padrões. Na caixa, a orientação para representar as primeiras figuras da sequência de barcos é acompanhada deste desenho:
Qual é o total de fichas necessárias para formar a 15ª figura da sequência?
A) 45
B) 87
C) 120
D) 240
E) 360
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Identificação de Padrões e Sequências
- Progressão Aritmética (PA) e PA de Segunda Ordem
- Soma de Termos de uma PA
Tema/Objetivo Geral: Resolução de Problemas com Sequências Lógicas.
Nível da Questão: Médio – A questão é considerada de nível médio porque envolve a análise de duas sequências distintas, uma para a parte de cima e outra para a parte de baixo da figura. A sequência da parte superior não é uma PA simples, mas uma PA de segunda ordem (os aumentos formam uma PA), o que exige um raciocínio mais elaborado para encontrar o 15º termo.
Gabarito: E) 360. A alternativa está correta porque a 15ª figura terá 120 fichas na parte de cima e 240 fichas na parte de baixo, totalizando 360 fichas.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial
“Qual é o total de fichas necessárias para formar a 15ª figura da sequência?”
O que está sendo pedido?
O problema nos pede para encontrar o número total de fichas (somando a parte de cima e a de baixo) que compõem a 15ª figura da série.
Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é descobrir a regra de formação para a parte de cima e para a parte de baixo da figura, aplicar essas regras para encontrar o número de fichas de cada parte na 15ª figura e, por fim, somar os dois valores.
Pergunta de Atenção
Você reparou que as figuras são divididas em duas partes (uma linha horizontal separa uma parte superior de uma inferior)? Analisar cada parte separadamente é a chave para não se confundir!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
Definições e Fórmulas / explicação de termos
Para resolver, vamos analisar os padrões de cada parte da figura.
- Sequência: Uma lista ordenada de números ou objetos. Nosso trabalho é descobrir a “lei” que gera o próximo elemento da lista.
- Progressão Aritmética (PA): Uma sequência onde a diferença entre termos consecutivos é constante (a razão). Ex: 2, 4, 6, 8… (razão 2).
- PA de Segunda Ordem: Uma sequência onde as diferenças entre os termos formam uma Progressão Aritmética. É o caso da parte de cima da nossa figura.
Vamos quebrar a figura em duas partes:
- Parte Superior: A pirâmide de fichas acima da linha horizontal.
- Parte Inferior: As fichas abaixo da linha horizontal.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada
Imagine que estamos construindo barquinhos com peças de Lego. Cada barquinho novo que construímos é um pouco maior que o anterior, seguindo uma regra específica. O barquinho tem uma “vela” (parte de cima) e um “casco” (parte de baixo). Precisamos descobrir quantas peças de Lego teremos na vela e no casco do 15º barquinho e depois somar tudo.
Estratégia Geral
Nossa estratégia será:
- Analisar a sequência de fichas da Parte Superior para encontrar o número de fichas na 15ª figura.
- Analisar a sequência de fichas da Parte Inferior e descobrir sua relação com a parte superior.
- Calcular o número de fichas da parte inferior na 15ª figura.
- Somar os resultados dos passos 1 e 3 para obter o total.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
Passo a Passo Detalhado
Etapa 1: Análise da Parte Superior (a “vela”)
Vamos contar o número de fichas na parte de cima de cada figura:
- Figura 1: 1 ficha
- Figura 2: 3 fichas (1 + 2)
- Figura 3: 6 fichas (3 + 3)
- Figura 4: 10 fichas (6 + 4)
- Sequência: 1, 3, 6, 10, …
Notamos que o aumento de uma figura para a outra não é constante:
- Da 1ª para a 2ª: aumentou 2 fichas.
- Da 2ª para a 3ª: aumentou 3 fichas.
- Da 3ª para a 4ª: aumentou 4 fichas.
O padrão é que, para ir da figura n-1 para a figura n, somamos n fichas.Vamos continuar o padrão até a 15ª figura:
- 5ª figura: 10 + 5 = 15
- 6ª figura: 15 + 6 = 21
- …
Para encontrar o 15º termo, basta somar os números de 1 a 15. A fórmula da soma dos termos de uma PA (1+2+3+…+n) é n*(n+1)/2. - Fichas na 15ª figura (parte superior) = 1 + 2 + 3 + … + 15 = 15 * (15 + 1) / 2 = 15 * 16 / 2 = 15 * 8 = 120 fichas.
Etapa 2: Análise da Parte Inferior (o “casco”)
Vamos contar o número de fichas na parte de baixo:
- Figura 1: 2 fichas
- Figura 2: 6 fichas
- Figura 3: 12 fichas
- Figura 4: 20 fichas
- Sequência: 2, 6, 12, 20, …
Vamos comparar com a parte superior:
- Figura 1: Cima=1, Baixo=2. (Baixo é o dobro de Cima)
- Figura 2: Cima=3, Baixo=6. (Baixo é o dobro de Cima)
- Figura 3: Cima=6, Baixo=12. (Baixo é o dobro de Cima)
- Figura 4: Cima=10, Baixo=20. (Baixo é o dobro de Cima)
O padrão é claro: o número de fichas na parte inferior é sempre o dobro do número de fichas na parte superior.
Etapa 3: Calcular as fichas da 15ª figura
- Fichas na parte superior da 15ª figura: 120
- Fichas na parte inferior da 15ª figura = 2 * (Fichas na parte superior) = 2 * 120 = 240 fichas.
Verificação Intermediária
Temos 120 fichas em cima e 240 fichas embaixo para a 15ª figura.
Etapa 4: Calcular o Total de Fichas
- Total = Fichas Cima + Fichas Baixo
- Total = 120 + 240
- Total = 360 fichas
Possível armadilha
A principal armadilha é não separar a figura em duas partes e tentar encontrar um único padrão para o total de fichas (3, 9, 18, 30…). Essa sequência é mais complexa de decifrar. Analisar as partes separadamente simplifica muito o problema. Outra armadilha seria parar o cálculo ao encontrar as 120 fichas da parte de cima e marcar a alternativa C.
Fechamento e expectativa
Nosso raciocínio estruturado nos levou a um total de 360 fichas para a 15ª figura. Esperamos encontrar esse valor exato nas alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
Listagem das Alternativas
A) 45
B) 87
C) 120
D) 240
E) 360
Justificativa Individual
- A) 45 🔴 Incorreta. Este seria o número de fichas na parte superior da 9ª figura (10º termo da soma 1+…+9).
- B) 87 🔴 Incorreta. Não corresponde a nenhum cálculo lógico com os padrões da sequência.
- C) 120 🔴 Incorreta. Este é o número de fichas apenas da parte superior da 15ª figura, não o total. É um distrator importante.
- D) 240 🔴 Incorreta. Este é o número de fichas apenas da parte inferior da 15ª figura, não o total.
- E) 360 🟢 Correta. Corresponde à soma do número de fichas da parte superior (120) e da parte inferior (240).
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio
Para resolver o problema, dividimos a figura em duas partes. Identificamos que a parte superior segue uma sequência cuja soma é n(n+1)/2, resultando em 120 fichas. Observamos que a parte inferior é sempre o dobro da superior, resultando em 240 fichas. A soma total é 120 + 240 = 360 fichas.
Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a E) 360.
Resumo Final para Revisão 🔍
Quando uma figura complexa segue um padrão, tente “quebrá-la” em partes mais simples. Muitas vezes, os padrões das partes individuais são muito mais fáceis de identificar do que o padrão da figura inteira.
