A figura mostra uma criança brincando em um balanço no parque. A corda que prende o assento do balanço ao topo do suporte mede 2 metros. A criança toma cuidado para não sofrer um acidente, então se balança de modo que a corda não chegue a alcançar a posição horizontal.
Na figura, considere o plano cartesiano que contém a trajetória do assento do balanço, no qual a origem está localizada no topo do suporte do balanço, o eixo X é paralelo ao chão do parque, e o eixo Y tem orientação positiva para cima.
A curva determinada pela trajetória do assento do balanço é parte do gráfico da função
Resolução em texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Analítica (Equação da Circunferência)
- Interpretação de Plano Cartesiano
- Funções (Domínio e Imagem de funções com radicais)
🎯 Tema/Objetivo Geral: Modelagem matemática de uma trajetória circular usando a equação da circunferência.
🎯 Nível da Questão: Médio.
- Detalhe: A questão é de nível médio porque exige a capacidade de traduzir uma situação física para um modelo matemático. O aluno precisa reconhecer a trajetória como um arco de círculo, definir corretamente o centro e o raio no plano cartesiano proposto e, crucialmente, isolar a variável y na equação, escolhendo o sinal correto com base na posição do balanço.
✅ Gabarito: D
- A alternativa está correta pois a trajetória do balanço é o arco inferior de uma circunferência com centro na origem (0,0) e raio 2, cuja equação é y = -√(4 – x²).
📖 Resolução Passo a Passo
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial 📌
“A curva determinada pela trajetória do assento do balanço é parte do gráfico da função”
1.2 O que está sendo pedido? 📌
A questão pede para encontrarmos a função f(x) que descreve matematicamente o caminho percorrido pelo assento do balanço.
1.3 Objetivo Cristalino 📌
Nosso objetivo é identificar a forma geométrica da trajetória, escrever sua equação no plano cartesiano descrito e, por fim, isolar a variável y para expressá-la como uma função de x.
1.4 Pergunta de Atenção ✔
Quando um objeto se move mantendo sempre a mesma distância de um ponto fixo (o pivô), que forma geométrica ele descreve? Uma circunferência, certo? Essa é a pista fundamental!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos 📌
Para resolver este problema, a ferramenta principal é a Equação da Circunferência.
- 1. Equação Reduzida da Circunferência:
- Descreve todos os pontos (x, y) que estão a uma distância R (raio) de um ponto central (xc, yc).
- Fórmula Geral: (x – xc)² + (y – yc)² = R²
- 2. Caso Especial: Centro na Origem:
- O enunciado diz que a origem (0, 0) está no “topo do suporte”. Este é o nosso ponto (xc, yc).
- Quando o centro é (0, 0), a equação se simplifica para:
- Fórmula Simplificada: x² + y² = R²
- 3. Transformando a Equação em Função:
- Uma circunferência completa não é uma função, pois para um mesmo x, teríamos dois valores de y. Para transformá-la em função, precisamos “cortá-la” ao meio.
- Isolando y na equação:
- y² = R² – x²
- y = ±√(R² – x²)
- Isso nos dá duas funções:
- f(x) = +√(R² – x²) → Representa a semicircunferência superior (onde y ≥ 0).
- f(x) = -√(R² – x²) → Representa a semicircunferência inferior (onde y ≤ 0).
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada 📌
Vamos colocar a situação num mapa matemático (o plano cartesiano). O ponto onde o balanço está preso é o centro do nosso mapa, a origem (0,0). A corda do balanço tem um comprimento fixo de 2 metros, que será o raio do nosso círculo. Como a criança está balançando abaixo do ponto de suporte, a trajetória dela estará na parte de baixo do círculo. Precisamos encontrar a fórmula que descreve apenas essa parte de baixo.
3.2 Estratégia Geral 📌
O plano de ataque é direto:
- Identificar as informações-chave no enunciado: centro e raio.
- Escrever a equação da circunferência correspondente.
- Isolar o y para obter a expressão da função.
- Escolher o sinal (+ ou -) correto com base na posição do balanço no plano cartesiano.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado 📌
Vamos aplicar a estratégia.
- Etapa A: Identificar o Centro e o Raio
- Centro: O enunciado diz que a origem está no “topo do suporte”. Portanto, (xc, yc) = (0, 0).
- Raio: A corda mede 2 metros. Esta é a distância constante do centro até o assento. Portanto, R = 2.
- Etapa B: Escrever a Equação da Circunferência
- Usando a fórmula x² + y² = R² com os nossos dados:
- x² + y² = 2²
- x² + y² = 4
- Etapa C: Isolar y para encontrar a expressão da função
- Partindo de x² + y² = 4:
- y² = 4 – x²
- Aplicando a raiz quadrada em ambos os lados:
- y = ±√(4 – x²)
- Etapa D: Escolher o Sinal Correto
- O enunciado define que o eixo Y tem “orientação positiva para cima”.
- O balanço está fisicamente abaixo do topo do suporte (a origem).
- No plano cartesiano, a região abaixo do eixo X (e da origem) é onde os valores de y são negativos.
- Portanto, devemos escolher a raiz negativa.
- y = f(x) = -√(4 – x²)
4.2 Verificação Intermediária 📌
A função que encontramos, f(x) = -√(4 – x²), descreve um semicírculo inferior com raio 2 e centro na origem, o que corresponde perfeitamente à trajetória do balanço.
4.3 Possível armadilha ❓/ ✔
Existem duas armadilhas principais aqui:
- Erro no Raio: Confundir R² com R. Se você usasse R² = 2, chegaria nas alternativas A ou B. Lembre-se, o raio é 2, então R² é 4.
- Erro no Sinal: Escolher a raiz positiva. Isso te levaria à alternativa E. Esse erro ocorre se você não interpretar corretamente a posição do balanço em relação à origem do sistema de coordenadas. O balanço está abaixo do suporte, logo, y é negativo.
4.4 Fechamento e expectativa
Nosso cálculo nos levou a uma função específica. Agora vamos compará-la com as alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) f(x) = -√(2 – x²)
B) f(x) = √(2 – x²)
C) f(x) = x² – 2
D) f(x) = -√(4 – x²)
E) f(x) = √(4 – x²)
5.2 Justificativa Individual
- A) (🔴) Incorreta. Representa o semicírculo inferior, mas de uma circunferência com raio R = √2 (pois R² = 2), não R=2.
- B) (🔴) Incorreta. Representa o semicírculo superior de uma circunferência com raio R = √2. Erro no raio e no sinal.
- C) (🔴) Incorreta. Esta é a equação de uma parábola com vértice em (0, -2). A trajetória do balanço é um arco circular, não parabólico.
- D) (🟢) Correta. Corresponde perfeitamente à nossa dedução: o semicírculo inferior (- na frente da raiz) de uma circunferência com raio 2 (R² = 4).
- E) (🔴) Incorreta. Representa o semicírculo superior da circunferência correta. Seria a trajetória se a criança estivesse em um “balanço invertido”, acima do ponto de suporte.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio 📌
Identificamos a trajetória como um arco de círculo com centro na origem e raio 2. Escrevemos a equação da circunferência (x² + y² = 4), isolamos y e escolhemos a raiz negativa (y = -√(4 – x²)) porque o balanço se move abaixo da origem.
6.2 Gabarito Reafirmado 📌
O gabarito correto é a alternativa D.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Para modelar movimentos circulares: use a equação da circunferência! Lembre-se que y = +√… é a parte de cima e y = -√… é a parte de baixo. A posição do objeto no plano cartesiano define o sinal.
