Um show especial de Natal teve 45 000 ingressos vendidos. Esse evento ocorrerá em um estádio de futebol que disponibilizará 5 portões de entrada, com 4 catracas eletrônicas por portão. Em cada uma dessas catracas, passará uma única pessoa a cada 2 segundos. O público foi igualmente dividido pela quantidade de portões e catracas, indicados no ingresso para o show, para a efetiva entrada no estádio. Suponha que todos aqueles que compraram ingressos irão ao show e que todos passarão pelos portões e catracas eletrônicas indicados.
Qual é o tempo mínimo para que todos passem pelas catracas?
A) 1 hora.
B) 1 hora e 15 minutos.
C) 5 horas.
D) 6 horas.
E) 6 horas e 15 minutos.
Resolução em texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Razão e Proporção
- Regra de Três Simples
- Operações Básicas (Multiplicação e Divisão)
- Conversão de Unidades de Tempo (segundos para minutos e horas)
🎯 Tema/Objetivo Geral: Cálculo de Vazão e Tempo.
🎯 Nível da Questão: Médio.
- Detalhe: A questão é de nível médio porque envolve várias etapas de cálculo e conversão de unidades. Embora as operações matemáticas sejam simples, um erro em qualquer um dos passos (como esquecer de multiplicar pelo número de portões ou catracas, ou errar na conversão de segundos para horas) pode levar a uma alternativa incorreta, exigindo organização e atenção.
✅ Gabarito: B
- A alternativa está correta pois, ao calcular a vazão total de pessoas por segundo em todas as catracas e dividir o público total por essa vazão, encontramos o tempo necessário de 75 minutos, ou 1 hora e 15 minutos.
📖 Resolução Passo a Passo
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial 📌
“Qual é o tempo mínimo para que todos passem pelas catracas?”
1.2 O que está sendo pedido? 📌
A questão pede para calcularmos o tempo total, desde a entrada da primeira pessoa até a última, para que todo o público de 45.000 pessoas entre no estádio.
1.3 Objetivo Cristalino 📌
Nosso objetivo é determinar esse tempo e expressá-lo em horas e minutos, como apresentado nas alternativas.
1.4 Pergunta de Atenção ✔
Você notou que o enunciado diz que o público foi “igualmente dividido”? Essa é uma super dica! Significa que todas as catracas vão operar ao mesmo tempo e terminarão seu trabalho no mesmo instante, o que nos permite calcular a capacidade total do sistema.
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos 📌
Para resolver este problema, precisamos entender o conceito de vazão.
- Vazão: É a taxa que mede a quantidade de algo que passa por um ponto em um determinado intervalo de tempo.
- Exemplo do cotidiano: Pense na vazão de uma torneira, medida em “litros por minuto”. Aqui, nossa “torneira” é a catraca, e o que flui são “pessoas”. Nossa vazão será medida em “pessoas por segundo”.
- Fórmula Chave: Tempo Total = Quantidade Total / Vazão Total
- Conversão de Tempo: Precisaremos converter nosso resultado final:
- 1 minuto = 60 segundos
- 1 hora = 60 minutos
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada 📌
Imagine que o estádio é uma piscina gigante que precisa ser enchida com 45.000 “gotas de água” (pessoas). Para isso, temos 5 canos principais (os portões), e cada cano se divide em 4 torneiras menores (as catracas). Todas as torneiras são abertas ao mesmo tempo e têm a mesma vazão. Nossa missão é calcular quanto tempo leva para encher a piscina com todas as torneiras funcionando juntas.
3.2 Estratégia Geral 📌
Nosso plano de ataque será:
- Calcular o número total de catracas no estádio.
- Calcular a “Vazão Total” do sistema, ou seja, quantas pessoas entram no estádio por segundo, somando todas as catracas.
- Calcular o tempo total necessário em segundos, dividindo o público total pela vazão total.
- Converter o tempo de segundos para horas e minutos.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado 📌
Vamos executar a estratégia, passo a passo.
- Passo A: Calcular o número total de catracas
- Temos 5 portões, e cada um tem 4 catracas.
- Total de Catracas = 5 portões × 4 catracas/portão = 20 catracas
- Passo B: Calcular a vazão de uma única catraca
- Uma catraca libera 1 pessoa a cada 2 segundos.
- Vazão por catraca = 1 pessoa / 2 s = 0,5 pessoas por segundo
- Passo C: Calcular a Vazão Total do Estádio
- Se temos 20 catracas, e cada uma libera 0,5 pessoa por segundo, a vazão total é:
- Vazão Total = 20 catracas × 0,5 pessoas/s por catraca = 10 pessoas por segundo
- Isso significa que, a cada segundo, 10 pessoas entram no estádio.
- Passo D: Calcular o tempo total em segundos
- Usamos nossa fórmula chave: Tempo Total = Quantidade Total / Vazão Total
- Tempo Total = 45.000 pessoas / 10 pessoas/s = 4.500 segundos
- Passo E: Converter o tempo para horas e minutos
- Primeiro, para minutos:
- Tempo (min) = 4.500 s / 60 s/min = 75 minutos
- Agora, para horas e minutos:
- 75 minutos = 60 minutos + 15 minutos
- Tempo final = 1 hora e 15 minutos
4.2 Verificação Intermediária 📌
O resultado de 1 hora e 15 minutos parece um tempo razoável para a entrada de um grande público em um estádio, o que nos dá confiança no cálculo.
4.3 Possível armadilha ❓/ ✔
A principal armadilha é esquecer uma das multiplicações. Por exemplo, você poderia calcular a vazão de apenas um portão (4 catracas x 0,5 p/s = 2 pessoas/s) e usar esse valor para dividir o público total (45.000 / 2 = 22.500s). Isso seria o tempo que um portão levaria para processar todo o público sozinho. A chave é lembrar que o sistema inteiro (todos os 5 portões) funciona em paralelo!
4.4 Fechamento e expectativa
Nosso cálculo nos levou a um tempo total de 1 hora e 15 minutos. Agora, vamos confirmar se essa resposta está nas alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) 1 hora.
B) 1 hora e 15 minutos.
C) 5 horas.
D) 6 horas.
E) 6 horas e 15 minutos.
5.2 Justificativa Individual
- A) 1 hora (🔴) Incorreta. 1 hora corresponde a 60 minutos (3600 segundos). Nosso cálculo resultou em 75 minutos.
- B) 1 hora e 15 minutos (🟢) Correta. Corresponde exatamente aos 75 minutos que encontramos em nosso cálculo.
- C) 5 horas (🔴) Incorreta. 5 horas (300 minutos) seria o resultado se, por exemplo, apenas um dos 5 portões estivesse funcionando para todo o público (75 minutos x 5).
- D) 6 horas (🔴) Incorreta. Valor distrator, sem uma lógica de erro clara.
- E) 6 horas e 15 minutos (🔴) Incorreta. Outro valor distrator, provavelmente para confundir com os “15 minutos” da resposta correta.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio 📌
A solução foi obtida calculando-se a vazão total do sistema (10 pessoas por segundo) e, em seguida, dividindo-se o público total (45.000 pessoas) por essa vazão para encontrar o tempo total em segundos (4.500 s), que foi então convertido para 1 hora e 15 minutos.
6.2 Gabarito Reafirmado 📌
O gabarito correto é a alternativa B.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Em problemas de vazão, o truque é encontrar a taxa total do sistema (o quanto acontece por unidade de tempo, considerando todos os elementos trabalhando juntos). Depois disso, o resto é uma simples divisão. Vazão total é sua melhor amiga
