Uma criança deseja criar triângulos utilizando palitos de fósforo de mesmo comprimento. Cada triângulo será construído com exatamente 17 palitos e pelo menos um dos lados do triângulo deve ter o comprimento de exatamente 6 palitos. A figura ilustra um triângulo construído com essas características.
A quantidade máxima de triângulos não congruentes dois a dois que podem ser construídos é
A) 3.
B) 5.
C) 6.
D) 8.
E) 10.
Resolução em texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Plana (Condição de Existência de um Triângulo / Desigualdade Triangular)
- Análise Combinatória (Listagem sistemática de possibilidades)
- Aritmética Básica
🎯 Tema/Objetivo Geral: Análise de possibilidades e aplicação da Desigualdade Triangular.
🎯 Nível da Questão: Médio.
- Detalhe: A questão é de nível médio porque não se resume a um único cálculo. Ela exige que o aluno organize o raciocínio, liste todas as combinações possíveis de lados e, crucialmente, aplique o filtro da “condição de existência de um triângulo” a cada uma delas. É fácil cair na armadilha de contar todas as combinações sem testar sua validade geométrica.
✅ Gabarito: A
- A alternativa está correta porque, das possíveis combinações de lados que somam 17, apenas três satisfazem a Desigualdade Triangular, que é a condição para que um triângulo possa existir.
📖 Resolução Passo a Passo
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial 📌
“A quantidade máxima de triângulos não congruentes dois a dois que podem ser construídos é”
1.2 O que está sendo pedido? 📌
A questão quer saber quantos triângulos diferentes podemos formar seguindo as regras dadas: usar 17 palitos no total e ter um dos lados medindo exatamente 6 palitos.
1.3 Objetivo Cristalino 📌
Nosso objetivo é listar todas as combinações possíveis de três números inteiros que somam 17 (com um deles sendo 6) e, em seguida, verificar quais dessas combinações podem de fato formar um triângulo, usando a condição de existência.
1.4 Pergunta de Atenção ✔
Você sabia que não é possível formar um triângulo com quaisquer três medidas? Se você pegar dois palitos bem curtinhos e um muito longo, as pontas não se encontram! Qual é a regra matemática que nos diz quando é possível ou não?
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos 📌
A ferramenta mais importante para esta questão é a Desigualdade Triangular (ou Condição de Existência de um Triângulo).
- O que é? É uma regra fundamental da geometria que diz: para que três segmentos de reta possam formar um triângulo, a medida de qualquer um dos lados deve ser sempre menor que a soma das medidas dos outros dois lados.
- A Regra na Prática: Se os lados são a, b e c, temos que verificar se:
- a < b + c
- b < a + c
- c < a + b
- Dica de Ouro (atalho) ✨: Para não precisar testar as três condições, basta fazer um único teste: verifique se o MAIOR LADO é menor que a soma dos outros dois. Se essa condição for verdadeira, o triângulo pode existir!
- Exemplo do cotidiano: Imagine que você tem dois lápis de 10 cm e uma régua de 30 cm. Você nunca conseguirá formar um triângulo com eles, pois 10 + 10 = 20, que é menor que 30. Os lápis não se alcançam!
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada 📌
Temos um total de 17 palitos para formar o perímetro do triângulo.
Uma regra obrigatória é que um dos lados deve ter 6 palitos.
Isso significa que para os outros dois lados, sobram: 17 – 6 = 11 palitos.
Nossa tarefa é descobrir de quantas maneiras diferentes podemos dividir esses 11 palitos em dois grupos (os outros dois lados) de forma que, junto com o lado de 6 palitos, eles consigam formar um triângulo de verdade.
3.2 Estratégia Geral 📌
Nosso plano de ataque será:
- Listar todas as duplas de números inteiros que somam 11.
- Para cada dupla, formar um “trio candidato” de lados para o triângulo (6, lado A, lado B).
- Aplicar a Desigualdade Triangular a cada trio para ver se ele é “aprovado” ou “reprovado”.
- Contar quantos trios foram “aprovados”.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado 📌
Vamos executar nossa estratégia.
Lado fixo = 6. Soma dos outros dois lados = 11.
Vamos listar as duplas que somam 11 e testar cada “trio candidato”:
- Candidato 1: Lados (10, 1). Trio: (6, 1, 10).
- Teste da Desigualdade: O maior lado é 10. A soma dos outros dois é 6 + 1 = 7.
- 10 é menor que 7? NÃO (10 > 7).
- Resultado: ❌ Este triângulo não pode ser construído.
- Candidato 2: Lados (9, 2). Trio: (6, 2, 9).
- Teste da Desigualdade: O maior lado é 9. A soma dos outros dois é 6 + 2 = 8.
- 9 é menor que 8? NÃO (9 > 8).
- Resultado: ❌ Este triângulo não pode ser construído.
- Candidato 3: Lados (8, 3). Trio: (6, 3, 8).
- Teste da Desigualdade: O maior lado é 8. A soma dos outros dois é 6 + 3 = 9.
- 8 é menor que 9? SIM.
- Resultado: ✅ Triângulo Válido 1.
- Candidato 4: Lados (7, 4). Trio: (6, 4, 7).
- Teste da Desigualdade: O maior lado é 7. A soma dos outros dois é 6 + 4 = 10.
- 7 é menor que 10? SIM.
- Resultado: ✅ Triângulo Válido 2.
- Candidato 5: Lados (6, 5). Trio: (6, 5, 6).
- Teste da Desigualdade: O maior lado é 6. A soma dos outros dois é 6 + 5 = 11.
- 6 é menor que 11? SIM.
- Resultado: ✅ Triângulo Válido 3. (Este é um triângulo isósceles).
Observação: Não precisamos testar (5, 6), (4, 7), etc., porque a questão pede triângulos “não congruentes”, e um triângulo com lados (6, 5, 6) é o mesmo que um com lados (6, 6, 5).
4.2 Verificação Intermediária 📌
Nossa listagem e verificação sistemática nos mostrou que existem exatamente 3 combinações de lados que podem formar um triângulo.
4.3 Possível armadilha ❓/ ✔
A maior armadilha aqui é esquecer a Desigualdade Triangular. Se você apenas listasse as maneiras de dividir 11 palitos em dois grupos, encontraria 5 pares: (10,1), (9,2), (8,3), (7,4), (6,5). Isso te levaria a marcar a alternativa B (5), que está incorreta. A geometria impõe restrições que a aritmética pura não vê!
4.4 Fechamento e expectativa
Concluímos que apenas 3 triângulos diferentes são possíveis. Esperamos encontrar o número 3 nas alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) 3.
B) 5.
C) 6.
D) 8.
E) 10.
5.2 Justificativa Individual
- A) 3 (🟢) Correta. Corresponde exatamente ao número de triângulos válidos que encontramos: (6,8,3), (6,7,4) e (6,6,5).
- B) 5 (🔴) Incorreta. Este é o número total de pares de inteiros que somam 11, mas ignora a regra geométrica da Desigualdade Triangular. É a armadilha principal.
- C) 6 (🔴) Incorreta. Não há uma lógica clara que leve a este resultado.
- D) 8 (🔴) Incorreta. Também é um distrator sem uma base de cálculo evidente.
- E) 10 (🔴) Incorreta. Outro distrator.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio 📌
Fixamos um lado do triângulo como 6 e determinamos que a soma dos outros dois devia ser 11. Listamos todas as combinações inteiras para esses dois lados e aplicamos a Desigualdade Triangular em cada uma, descobrindo que apenas três delas podiam formar um triângulo válido.
6.2 Gabarito Reafirmado 📌
A resposta correta é a alternativa A, que indica a quantidade de 3 triângulos possíveis.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
A dica de ouro para problemas de construção de triângulos: sempre se lembre da Desigualdade Triangular! O maior lado deve ser menor que a soma dos outros dois. É o teste de qualidade que separa os triângulos “de verdade” dos “falsos”.
