Uma fábrica utiliza sua frota particular de caminhões para distribuir as 90 toneladas de sua produção semanal. Todos os caminhões são do mesmo modelo e, para aumentar a vida útil da frota, adota-se a política de reduzir a capacidade máxima de carga de cada caminhão em meia tonelada. Com essa medida de redução, o número de caminhões necessários para transportar a produção semanal aumenta em 6 unidades em relação ao número de caminhões necessários para transportar a produção, usando a capacidade máxima de carga de cada caminhão.
Qual é o número atual de caminhões que essa fábrica usa para transportar a produção semanal, respeitando-se a política de redução de carga?
A) 36
B) 30
C) 19
D) 16
E) 10
Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
Matemática – Equações do 2º grau, Razão, Proporção, Interpretação de Problemas Algébricos.
Tema/Objetivo Geral:
Modelagem algébrica de uma situação envolvendo variação proporcional e equação quadrática.
Nível da Questão:
Médio. Exige interpretação detalhada do enunciado, modelagem com equação do 2º grau e resolução algébrica completa, além de excluir uma raiz negativa com justificativa.
Gabarito:
Alternativa A
Está correta porque o número atual de caminhões utilizados com a carga reduzida é 36, resultante da capacidade de 3 toneladas por caminhão (sem redução).
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“Qual é o número atual de caminhões que essa fábrica usa para transportar a produção semanal, respeitando-se a política de redução de carga?”
1.2 O que está sendo pedido?
Determinar quantos caminhões a fábrica usa atualmente, já adotando a política de redução de carga em 0,5 tonelada.
1.3 Objetivo Cristalino
Descobrir o número atual de caminhões, considerando a redução de 0,5 tonelada na capacidade de cada caminhão.
1.4 Pergunta de Atenção
Você lembra como expressar situações de variação em uma equação do 2º grau?
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas
Capacidade do caminhão (C):
É a quantidade de toneladas que um caminhão pode carregar antes da redução.
Com a política de redução, a nova capacidade passa a ser C – 0,5.
Equação do 2º grau:
Toda equação na forma ax² + bx + c = 0 pode ser resolvida usando a fórmula de Bhaskara:
x = ( -b ± √Δ ) / 2a, onde Δ = b² – 4ac
Situação de proporcionalidade inversa:
Se reduzimos a capacidade do caminhão, precisamos de mais caminhões para transportar a mesma carga.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
A fábrica precisa transportar 90 toneladas por semana. Originalmente, cada caminhão tem capacidade C.
Com a política de reduzir 0,5 tonelada por caminhão, o número de caminhões aumenta em 6.
3.2 Estratégia Geral
- Representar a quantidade de caminhões em função da capacidade com e sem redução.
- Montar uma equação relacionando as duas situações.
- Resolver a equação do 2º grau para descobrir C e, por consequência, o número de caminhões.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Sem redução na capacidade:
Número de caminhões necessários = 90 / C
Com redução de 0,5 t por caminhão:
Número de caminhões necessários = 90 / (C – 0,5)
Segundo o enunciado:
Com a redução, são usados 6 caminhões a mais. Então:
90 / (C – 0,5) = 90 / C + 6
Vamos eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados por C(C – 0,5):
90 * C = (90 * (C – 0,5)) + (6 * C * (C – 0,5))
Desenvolvendo:
90C = 90C – 45 + 6C² – 3C
Eliminando 90C dos dois lados:
0 = -45 + 6C² – 3C
6C² – 3C – 45 = 0
Dividindo tudo por 3:
2C² – C – 15 = 0
Aplicando Bhaskara:
Δ = (-1)² – 4 * 2 * (-15) = 1 + 120 = 121
C = (1 ± √121) / (2 * 2)
C = (1 ± 11) / 4
C₁ = (1 + 11)/4 = 12 / 4 = 3
C₂ = (1 – 11)/4 = -10 / 4 = -2,5 → (descartada, pois capacidade não pode ser negativa)
Capacidade original de cada caminhão = 3 toneladas
Número de caminhões sem redução:
90 / 3 = 30
Número de caminhões com redução de 0,5 t:
Capacidade = 3 – 0,5 = 2,5 t
90 / 2,5 = 36 caminhões
4.2 Verificação Intermediária
A diferença entre os dois cenários é:
36 – 30 = 6 caminhões a mais, confirmando o enunciado.
4.3 Possível armadilha
Você pode ter tentado resolver direto pensando que era uma simples regra de três. Mas aqui a pegadinha está em relacionar as duas situações com uma equação, e não apenas comparar os números.
4.4 Fechamento e expectativa
A capacidade por caminhão antes da redução era de 3 t, e com a redução são necessários 36 caminhões. Esse é o número atual, como pediu a questão.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) 36
B) 30
C) 19
D) 16
E) 10
5.2 Justificativa Individual
A) 36 — 🟢 Correta! É o número de caminhões atuais, já com a capacidade reduzida para 2,5 t por caminhão.
B) 30 — 🔴 Errada. Esse é o número de caminhões sem redução na capacidade. A pergunta exige a situação atual.
C) 19 — 🔴 Sem justificativa nos dados. Erro provavelmente vindo de conta incorreta.
D) 16 — 🔴 Também sem base na equação montada.
E) 10 — 🔴 Muito abaixo do mínimo necessário. Inviável transportar 90 toneladas com essa quantidade.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
Modelamos a variação do número de caminhões com e sem redução da capacidade, montamos uma equação do 2º grau e determinamos que a capacidade original era de 3 t. Isso leva a 36 caminhões usados atualmente.
6.2 Gabarito Reafirmado
✅ Alternativa A — 36 caminhões
6.3 Resumo Final para Revisão
⚖ Sempre que houver duas situações relacionadas por uma mudança proporcional, monte uma equação comparando as expressões — e cuidado com o que o enunciado pede!
