No filme O colecionador de ossos, produzido pela Columbia Pictures Corporation — Universal Pictures, a pista deixada por um suspeito de certo delito foi a marca de uma pegada no chão. Uma personagem do filme, ciente de que a marca serviria de prova para a investigação, fotografou essa marca ao lado de uma nota de dólar, que mede aproximadamente 15 cm.
Disponível em: www.cinemenu.com.br. Acesso em: 15 jul. 2010 (adaptado).
Ao revelar a foto, essa personagem obteve uma imagem em que o comprimento da cédula de dólar media 3 cm e o da marca da pegada media 6 cm. Qual a relação numérica entre a marca no chão e a marca na imagem revelada?
A) 5 vezes maior.
B) 5 centímetros maior.
C) 9 centímetros maior.
D) 12 centímetros maior.
E) 12 vezes maior.
Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
Grandezas proporcionais, escala, razão e proporção (Matemática)
Tema/Objetivo Geral:
Interpretação de escalas e comparação entre medidas reais e imagens
Nível da Questão:
Fácil — O nível é considerado fácil porque envolve uma única razão de proporcionalidade (escala) e uma multiplicação direta. Não exige fórmulas complexas nem leitura de gráfico.
Gabarito:
Letra A: 5 vezes maior
A imagem da pegada foi feita em escala reduzida. Como a escala da imagem é 5 vezes menor que o tamanho real, o tamanho real da pegada é 5 vezes maior do que o mostrado na imagem.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“Qual a relação numérica entre a marca no chão e a marca na imagem revelada?”
1.2 O que está sendo pedido?
Determinar quantas vezes a marca real da pegada é maior que sua imagem na fotografia.
1.3 Objetivo Cristalino
Comparar o tamanho real da marca da pegada com o tamanho da marca revelada na foto.
1.4 Pergunta de Atenção
Você lembra como a escala funciona quando transformamos o mundo real em uma imagem menor?
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas
Escala:
É a razão entre uma medida representada em um desenho (ou imagem) e a medida real do objeto.
Fórmula básica da escala:
Escala = medida na imagem / medida real
Se a escala for 1:5, por exemplo, isso significa que a imagem é 5 vezes menor que o real.
Como usar a escala para descobrir o tamanho real:
Tamanho real = medida na imagem * fator da escala inversa
Exemplo cotidiano:
Se você tem uma miniatura de um carro com 10 cm e sabe que ela está em escala 1:10, o carro real mede 10 * 10 = 100 cm (1 metro).
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
No filme, uma pegada foi fotografada ao lado de uma nota de dólar. A nota real tem 15 cm, mas na foto aparece com 3 cm. A pegada na imagem mede 6 cm. Queremos saber qual o tamanho real dessa pegada e compará-lo com o da imagem.
3.2 Estratégia Geral
Vamos descobrir a escala da imagem usando a nota de dólar como referência e depois aplicar essa escala para calcular o tamanho real da pegada. Por fim, vamos comparar os tamanhos e dizer quantas vezes a pegada real é maior que a da foto.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Passo 1:
Calcular a escala da imagem:
Escala = medida real da nota / medida na imagem
Escala = 15 / 3 = 5
Ou seja, a imagem é 5 vezes menor que a realidade.
Passo 2:
Calcular o tamanho real da pegada:
Tamanho real da pegada = medida na imagem * escala
Tamanho real = 6 * 5 = 30 cm
Passo 3:
Calcular a razão entre a marca real e a marca da imagem:
Relação = tamanho real / tamanho da imagem
Relação = 30 / 6 = 5
4.2 Verificação Intermediária
Sim! A escala faz sentido: a nota de 15 cm aparece com 3 cm e a pegada de 6 cm representa 30 cm. Tudo proporcional!
4.3 Possível armadilha
Você pode ter achado que a diferença entre os tamanhos era medida em centímetros, e não em proporção. Por exemplo, achar que a pegada era “5 centímetros maior” que algo. Mas a pergunta pede uma relação numérica, ou seja, um fator de multiplicação (vezes), e não uma diferença em cm.
4.4 Fechamento e Expectativa
Já sabemos que a pegada no mundo real tem 30 cm, enquanto a imagem mostra 6 cm. Isso indica que a marca no chão é 5 vezes maior que a marca revelada. Vamos procurar essa alternativa.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) 5 vezes maior
B) 5 centímetros maior
C) 9 centímetros maior
D) 12 centímetros maior
E) 12 vezes maior
5.2 Justificativa Individual
A) 5 vezes maior — 🟢 Correta!
A marca real da pegada é 5 vezes maior que sua imagem (30 cm contra 6 cm). Proporcionalidade correta!
B) 5 centímetros maior — 🔴
Aqui o erro é confundir proporção com diferença. A pegada não é apenas 5 cm maior, ela é 5 vezes maior!
C) 9 centímetros maior — 🔴
Mesmo erro: está focando na diferença de tamanho, não na razão. A diferença é 24 cm (30 – 6), e não 9.
D) 12 centímetros maior — 🔴
Novamente, foca na diferença em cm, o que não é o que a questão pediu.
E) 12 vezes maior — 🔴
Aqui o erro é exagerar a proporção. A escala correta é de 5 vezes, não 12.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
Usamos a medida da nota de dólar para descobrir que a imagem está em escala 1:5. Aplicando isso na medida da pegada (6 cm), encontramos o tamanho real (30 cm). A relação entre eles é de 5 vezes.
6.2 Gabarito Reafirmado
✅ Letra A — 5 vezes maior
6.3 Resumo Final para Revisão
📏 Quando a imagem está em escala, multiplique pela razão inversa da escala para descobrir o tamanho real.
