Um procedimento padrão para aumentar a capacidade do número de senhas de banco é acrescentar mais caracteres a essa senha. Essa prática, além de aumentar as possibilidades de senha, gera um aumento na segurança. Deseja-se colocar dois novos caracteres na senha de um banco, um no início e outro no final. Decidiu-se que esses novos caracteres devem ser vogais e o sistema conseguirá diferenciar maiúsculas de minúsculas.
Com essa prática, o número de senhas possíveis ficará multiplicado por
A) 100.
B) 90.
C) 80.
D) 25.
E) 20.
Resolução em Texto
📘 Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Matemática – Contagem (Princípio Fundamental da Contagem)
📔 Nível da Questão:
- Fácil, mas exige atenção à interpretação do enunciado (principalmente no trecho que trata das vogais com distinção de maiúsculas e minúsculas).
✅ Gabarito:
- A
🎯 Tema/Objetivo Geral:
- Análise Combinatória (Princípio Multiplicativo aplicado a senhas)
🔷 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 Comando Essencial
“Com essa prática, o número de senhas possíveis ficará multiplicado por…”
❓ O que está sendo pedido?
O fator de multiplicação no número total de senhas, ao se acrescentar dois caracteres (vogais) — um no início e um no final da senha.
🎯 Objetivo Cristalino
Descobrir quantas novas possibilidades surgem ao adicionar dois caracteres extras, sabendo que:
- Cada caractere deve ser uma vogal;
- As vogais podem ser maiúsculas ou minúsculas;
- Os dois novos caracteres podem se repetir.
💡 Dica Geral
Quando a questão fala em multiplicar o total de senhas possíveis, está perguntando quantas novas combinações possíveis existem só por conta dos dois novos caracteres.
💬 Dúvida Comum
“Mudo a ordem? A ordem importa?”
✅ Sim! Como os caracteres são colocados um no início e outro no final, estamos tratando de permutação com repetição permitida, e a ordem importa.
✔ Pergunta de Atenção
Você se lembrou de contar todas as vogais maiúsculas e minúsculas separadamente?
🔷 Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
🧮 Princípio Multiplicativo
Se temos A maneiras de fazer uma coisa e B maneiras de fazer outra, então há A × B maneiras de fazer ambas em sequência.
🔠 Vogais maiúsculas e minúsculas
As vogais do alfabeto são: A, E, I, O, U → 5 letras
Com distinção entre maiúsculas e minúsculas, temos:
- A, E, I, O, U
- a, e, i, o, u
Portanto, temos:
5 maiúsculas + 5 minúsculas = 10 opções distintas
🔷 Passo 3: Tradução e Interpretação de Texto
O enunciado afirma que:
- Vamos adicionar dois novos caracteres, um no início e um no final;
- Os caracteres são vogais, com distinção entre maiúsculas e minúsculas;
- Podem ser iguais ou diferentes (não há restrição contra repetição).
Portanto, temos:
- 10 opções para o primeiro caractere (início)
- 10 opções para o segundo caractere (final).
🔷 Passo 4: Desenvolvimento do raciocínio e cálculos
Aplicando o princípio multiplicativo:
- Total de novas combinações = 10 × 10 = 100
Isso significa que, independentemente do número de senhas anteriores, o número será multiplicado por 100.
🔷 Passo 5: Análise das Alternativas
Vamos avaliar:
E) 20 → Errado. Seria 10 + 10, o que não se aplica aqui (não é soma, é produto).
A) 100 → ✅ Correta! (10 possibilidades no início × 10 no fim = 100 combinações)
B) 90 → Errado. Sugere que tiraram 10 combinações por repetição, o que não faz sentido, pois repetições são permitidas.
C) 80 → Errado. Sem justificativa combinatória plausível.
D) 25 → Errado. Seria 5 × 5 (se ignorássemos maiúsculas e minúsculas).
🔷 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Com 10 possibilidades de vogais distintas (maiúsculas e minúsculas), e a adição de dois novos caracteres (um no início e outro no fim), o número total de senhas possíveis fica multiplicado por 10 × 10 = 100.
✅ Gabarito correto: Alternativa A
