Um ciclista participará de uma competição e treinará alguns dias da seguinte maneira: no primeiro dia, pedalará 60 km; no segundo dia, a mesma distância do primeiro mais r km; no terceiro dia, a mesma distância do segundo mais r km; e, assim, sucessivamente, sempre pedalando a mesma distância do dia anterior mais r km. No último dia, ele deverá percorrer 180 km, completando o treinamento com um total de 1 560 km.
A distância r que o ciclista deverá pedalar a mais a cada dia, em km, é
A) 3.
B) 7.
C) 10.
D) 13.
E) 20.
Resolução em Texto
📘 Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Matemática – PA (termo geral, soma dos termos)
📔 Nível da Questão:
- Médio, pois envolve interpretação de problema contextualizado, uso da fórmula da soma dos termos de uma PA e do termo geral.
✅ Gabarito:
- Letra C) 10 km
🎯 Tema/Objetivo Geral:
- Progressão Aritmética (PA) aplicada a situações cotidianas – aumento diário de treino.
🔷 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 Comando Essencial:
“A distância r que o ciclista deverá pedalar a mais a cada dia, em km, é…”
❓O que está sendo pedido?
A razão da progressão aritmética: o quanto ele aumenta a quilometragem de treino a cada novo dia.
🎯 Objetivo Cristalino
Descobrir r, sabendo que os treinos formam uma PA, cujo primeiro termo é 60 km, o último é 180 km e a soma dos termos é 1560 km.
💬 Dúvida Comum
“Devo usar direto a fórmula do termo geral?” — Não ainda! Primeiro precisamos saber quantos dias (n) foram treinados, para depois achar r.
✔ Pergunta de Atenção
Se a distância aumenta sempre em r km e o último dia tem 180 km, como podemos relacionar isso com o primeiro dia e o total de treino?
🔷 Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
🧩 Progressão Aritmética (PA)
É uma sequência em que cada termo aumenta ou diminui em uma razão constante r.
- Primeiro termo (a₁) = 60 km
- Último termo (aₙ) = 180 km
- Soma dos termos (Sₙ) = 1560 km
📘 Fórmulas essenciais
- Soma dos termos da PA:
- Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
- Termo geral da PA:
- aₙ = a₁ + (n – 1)r
🔷 Passo 3: Tradução e Interpretação de Texto
O ciclista treina em PA crescente
- Primeiro dia: 60 km
- Último dia: 180 km
- Soma dos treinos: 1560 km
- Ele aumenta a cada dia em r km
Precisamos descobrir:
- Quantos dias (n) foram de treino
- Qual foi o aumento diário (r)
🔷 Passo 4: Desenvolvimento do raciocínio e cálculos
① Usando a fórmula da soma:
- Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
- 1560 = n(60 + 180)/2
- 1560 = n(240)/2
- 1560 = 120n
- n = 1560 / 120 = 13 dias
② Usando a fórmula do termo geral:
- aₙ = a₁ + (n – 1)r
- 180 = 60 + (13 – 1)r
- 180 = 60 + 12r
- 120 = 12r
- r = 120 / 12 = 10 km
🔷 Passo 5: Análise das Alternativas
A) 3 ❌ Muito pequeno — não atinge 180 km no 13º dia
B) 7 ❌ Resultaria em menos de 180 km no último dia
✅ C) 10 ✔ Correto — r = 10 km faz com que o 13º dia tenha 180 km
D) 13 ❌ Resultaria num total superior a 1560 km
E) 20 ❌ Aumentaria muito rápido — excederia 180 km cedo
🔷 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
O ciclista começa com 60 km e termina com 180 km em 13 dias, totalizando 1560 km.
Usando as fórmulas da soma e do termo geral da PA, encontramos que o aumento diário necessário é de:
- 10 km
✅ Alternativa correta: Letra C
