Para fazer um pião, brinquedo muito apreciado pelas crianças, um artesão utilizará o torno mecânico para trabalhar num pedaço de madeira em formato de cilindro reto, cujas medidas do diâmetro e da altura estão ilustradas na Figura 1. A parte de cima desse pião será uma semiesfera, e a parte de baixo, um cone com altura 4 cm, conforme Figura 2. O vértice do cone deverá coincidir com o centro da base do cilindro.
O artesão deseja fazer um pião com a maior altura que esse pedaço de madeira possa proporcionar e de modo a minimizar a quantidade de madeira a ser descartada.
Dados:
O volume de uma esfera de raio r é 4·π·r³/3;
O volume do cilindro de altura h e área da base S é S·h;
O volume do cone de altura h e área da base S é 1/3 ·S·h;
Por simplicidade, aproxime π para 3.
A quantidade de madeira descartada, em centímetros cúbicos, é
A) 45.
B) 48.
C) 72.
D) 90.
E) 99.
Resolução em Texto
📘 Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Matemática – Geometria Espacial (volume do cilindro, cone e esfera)
📔 Nível da Questão:
- Difícil, pois envolve:
- Interpretação geométrica de sólidos compostos;
- Subtrações de volumes com formas diferentes;
- Uso adequado de fórmulas e simplificações com π.
✅ Gabarito:
- Letra E) 99 cm³
🎯 Tema/Objetivo Geral:
- Geometria Espacial: cálculo de volumes e otimização com formas compostas.
🔷 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 Comando Essencial:
“A quantidade de madeira a ser descartada, em centímetros cúbicos, é…”
❓O que está sendo pedido?
O volume de madeira que sobra após a confecção do pião com forma de semiesfera + cone, retirado de um bloco cilíndrico.
🎯 Objetivo Cristalino
Calcular o volume do cilindro original, subtrair dele o volume do pião (semiesfera + cone), e encontrar o volume descartado.
💬 Dúvida Comum
“Preciso usar o volume de uma esfera completa?” — Não! A parte de cima é uma semiesfera, então usamos metade do volume da esfera.
✔ Pergunta de Atenção
Como combinar os volumes da semiesfera e do cone para ocupar o cilindro sem sobrar espaço?
🔷 Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
📐 Fórmulas de volume fornecidas:
• Cilindro:
V_cil = S × h = π × r² × h
• Cone:
V_cone = (1/3) × S × h = (1/3) × π × r² × h
• Esfera:
V_esfera = (4/3) × π × r³
⇒ V_semiesfera = (2/3) × π × r³
- Vamos usar: π ≈ 3
🔷 Passo 3: Tradução e Interpretação de Texto
Cilindro original:
- Altura = 7 cm
- Diâmetro = 6 cm → raio = 3 cm
O pião será formado por:
- Parte de cima: semiesfera
- Parte de baixo: cone com altura 4 cm
- O vértice do cone deve coincidir com o centro da base do cilindro
🧩 Então a semiesfera ocupa o topo restante do cilindro:
- Altura da semiesfera = 7 – 4 = 3 cm → raio = 3 cm
✔ Isso garante que o cone e a semiesfera juntos ocupam perfeitamente os 7 cm de altura do cilindro.
🔷 Passo 4: Desenvolvimento do raciocínio e cálculos
1. Volume total do cilindro:
V_cil = π · 3² · 7 = π · 9 · 7 = 63π
2. Volume do cone (altura 4, raio 3):
V_cone = (1/3) · π · 3² · 4 = (1/3) · π · 9 · 4 = 12π
3. Volume da semiesfera:
V_semi = (2/3) · π · 3³ = (2/3) · π · 27 = 18π
4. Volume total do pião (semiesfera + cone):
V_pião = 18π + 12π = 30π
5. Volume de madeira descartada:
V_descartado = V_cil − V_pião = 63π − 30π = 33π
Usando π ≈ 3:
V_descartado = 33 · 3 = 99 cm³
🔷 Passo 5: Análise das Alternativas
- A) 45 ❌ Muito abaixo
- B) 48 ❌ Muito abaixo
- C) 72 ❌ Equivale apenas à parte do cone
- D) 90 ❌ Quase certo, mas ainda insuficiente
- ✅ E) 99 ✔ Correto! Soma das perdas com precisão
🔷 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
O pião foi moldado de forma otimizada para ocupar todo o volume útil do cilindro com uma semiesfera e um cone de mesmo raio. Após calcular os volumes das partes, o volume total descartado foi:
- 99 cm³
✅ Alternativa correta: Letra E
