O índice pluviométrico é utilizado para mensurar a precipitação da água da chuva, em milímetros, em determinado período de tempo. Seu cálculo é feito de acordo com o nível de água da chuva acumulada em 1 m², ou seja, se o índice for de 10 mm, significa que a altura do nível de água acumulada em um tanque aberto, em formato de um cubo com 1 m² de área de base, é de 10 mm. Em uma região, após um forte temporal, verificou-se que a quantidade de chuva acumulada em uma lata de formato cilíndrico, com raio 300 mm e altura 1 200 mm, era de um terço da sua capacidade.
Utilize 3,0 como aproximação para π.
O índice pluviométrico da região, durante o período do temporal, em milímetros, é de
A) 10,8.
B) 12,0.
C) 32,4.
D) 108,0.
E) 324,0.
Resolução em texto
Matérias Necessárias: Geometria Espacial (Cálculo de Volume de Cilindro), Conversão de Unidades (mm³ para mm de altura em 1 m²)
Nível da Questão: Fácil
✅ Gabarito: D) 108,0
🎯 Objetivo Geral: Determinar a altura, em milímetros, do volume de chuva acumulado em 1 m², dado que o volume em um cilindro foi um terço de sua capacidade.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial (📌)
“…a quantidade de chuva acumulada em uma lata de formato cilíndrico, com raio 300 mm e altura 1 200 mm, era de um terço da sua capacidade. … O índice pluviométrico … em milímetros, é de ___.”
1.2 O que está sendo pedido? (📌)
Calcular a altura (em mm) que esse volume de chuva (um terço do cilindro) representa quando espalhado sobre uma área de base igual a 1 m².
1.3 Objetivo Cristalino (📌)
- Encontrar o volume de chuva no cilindro:
Volume_chuva = (1/3) × Volume_cilindro - Converter esse volume para altura em um tanque de base 1 m²:
altura = Volume_chuva / (1 m² em mm²) - Obter o valor final em milímetros.
1.4 Pergunta de Atenção (✔)
Você lembrou de converter 1 m² para mm² antes de usar a fórmula volume = área_base × altura?
Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas (📌)
- Volume de um cilindro:
Volume_cilindro = π × R² × h- Onde R = raio (em mm) e h = altura (em mm).
- Volume de chuva no cilindro (um terço da capacidade):
Volume_chuva = (1/3) × Volume_cilindro - Conversão de unidades para base de 1 m²:
- 1 m² = 1 000 000 mm²
- Se o volume seria espalhado em um tanque de base 1 m², então:
altura_tanque (em mm) = Volume_chuva / 1 000 000
2.2 Dúvida Comum e Resposta (❓✔)
“Por que dividimos o volume obtido por 1 000 000?”
✔ Porque, em milímetros, 1 m² equivale a 1 000 000 mm². Ao conhecer o volume em mm³, para saber a altura de água (em mm) sobre 1 m² (1 000 000 mm²), usamos
altura = volume(mm³) ÷ área_base(mm²).
Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada (📌)
Temos um cilindro de raio 300 mm e altura 1 200 mm. Sabemos que, após o forte temporal, a chuva acumulada corresponde a exatamente um terço do volume desse cilindro. Para expressar esse volume de chuva como “índice pluviométrico” (altura) em mm para uma área de 1 m², precisamos:
- Calcular o volume total do cilindro;
- Tomar um terço desse volume (volume de chuva);
- Dividir por 1 000 000 (que é a área de 1 m² em mm²) para obter a altura em mm.
3.2 Estratégia Geral (📌)
- Calcular Volume_cilindro = π × (300 mm)² × 1200 mm.
- Obter Volume_chuva = (1/3) × Volume_cilindro.
- Dividir Volume_chuva por 1 000 000 para achar a altura em mm.
- Comparar o resultado com as alternativas.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado (📌)
- Dados iniciais:
- R = 300 mm
- h = 1200 mm
- π ≈ 3,0
- Volume do cilindro:
- Volume_cilindro = π × R² × h
- Volume_cilindro = 3,0 × (300 mm)² × 1200 mm
- Primeiro, calcular (300 mm)²:
(300 mm)² = 300 mm × 300 mm = 90 000 mm² - Agora, substituir:
Volume_cilindro = 3,0 × 90 000 mm² × 1200 mm - Volume_cilindro = 3,0 × 108 000 000 mm³
- Volume_cilindro = 324 000 000 mm³
- Volume de chuva (um terço do cilindro):
- Volume_chuva = (1/3) × 324 000 000 mm³
- Volume_chuva = 108 000 000 mm³
- Converter para altura em tanque de base 1 m²:
- Área_base = 1 m² = 1 000 000 mm²
- altura (mm) = Volume_chuva / Área_base
- altura (mm) = 108 000 000 mm³ / 1 000 000 mm²
- altura (mm) = 108 mm
- Resultado:
- O índice pluviométrico obtido é 108,0 mm.
4.2 Verificação Intermediária (📌)
- Verificamos que Volume_cilindro = 324 000 000 mm³.
- Um terço disso resulta em 108 000 000 mm³.
- Dividindo por 1 000 000 mm², chegamos a 108 mm de altura.
Passo 5: Análise das Alternativas
A) 10,8 ❌
- Errado por fator de 10: seria se tivéssemos dividido volume total por 10 000 000 em vez de 1 000 000.
B) 12,0 ❌
- Muito menor do que o cálculo real de 108 mm.
C) 32,4 ❌
- Coincide com (300² × 3,0) / (1 000 000) sem multiplicar por 1200 nem dividir por 3 adequadamente.
D) 108,0 ✅
- Confere com todos os passos:
(1/3) × [3,0 × 300² × 1200] ÷ 1 000 000 = 108,0 mm.
E) 324,0 ❌
- Esse valor corresponderia a usar o volume total sem dividir por 3 (isto é, 324 000 000 / 1 000 000 = 324 mm), mas a chuva é 1/3 do cilindro.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio (📌)
Calculamos o volume do cilindro com R = 300 mm e h = 1200 mm usando π = 3,0, obtendo 324 000 000 mm³. Como a chuva corresponde a um terço, temos 108 000 000 mm³. Dividido pela área de 1 m² (1 000 000 mm²), resulta em 108,0 mm.
6.2 Gabarito Reafirmado (📌)
✅ Alternativa D) 108,0
6.3 Resumo Final para Revisão (🔍)
Para converter volume de chuva em mm de índice pluviométrico:
- Calcule o volume (mm³).
- Selecione a fração (aqui, 1/3).
- Divida por 1 000 000 mm² (1 m²) para obter altura em milímetros.
