Devido ao aumento do fluxo de passageiros, uma empresa de transporte coletivo urbano está fazendo estudos para a implantação de um novo ponto de parada em uma determinada rota. A figura mostra o percurso, indicado pelas setas, realizado por um ônibus nessa rota e a localização de dois de seus atuais pontos de parada, representados por P e Q.
Os estudos indicam que o novo ponto T deverá ser instalado, nesse percurso, entre as paradas já existentes P e Q, de modo que as distâncias percorridas pelo ônibus entre os pontos P e T e entre os pontos T e Q sejam iguais.
De acordo com os dados, as coordenadas do novo ponto de parada são
A) (290 ; 20).
B) (410 ; 0).
C) (410 ; 20).
D) (440 ; 0).
E) (440 ; 20).
Resolução em texto
Matérias Necessárias: Geometria Analítica (interpretação de coordenadas), Análise de Percursos (trajeto em “L”).
Nível da Questão: Médio.
Gabarito: E.
Objetivo Geral: Determinar as coordenadas do ponto T no percurso do ônibus que deixe os trechos P→T e T→Q com exatamente a mesma distância percorrida.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 📌 Transcrição Essencial
“…o novo ponto T deverá ser instalado, nesse percurso, entre as paradas já existentes P e Q, de modo que as distâncias percorridas pelo ônibus entre os pontos P e T e entre os pontos T e Q sejam iguais.”
1.2 📌 O que está sendo pedido?
Encontrar no trajeto do ônibus (que segue apenas ruas horizontais e verticais) um ponto T tal que a distância percorrida de P até T seja igual à distância percorrida de T até Q.
1.3 📌 Objetivo Cristalino
Determinar as coordenadas (XT, YT) de forma que o percurso P→T (seguindo ruas) seja igual ao percurso T→Q.
1.4 ✔ Pergunta de Atenção
Você lembra que a distância percorrida pelo ônibus não é em linha reta, mas segue primeiro uma reta horizontal e depois uma reta vertical?
Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 📌 Definições e Fórmulas
- O ônibus segue um caminho em formato de “L”: primeiro na horizontal (mesmo Y), depois na vertical (mesmo X).
- Para esse tipo de percurso, a distância total entre dois pontos P(Xp, Yp) e Q(Xq, Yq) é dada por:
Ltotal = |Xq – Xp| + |Yq – Yp|. - Ao encontrar um ponto T(XT, YT) entre P e Q, queremos que:
L(P,T) = L(T,Q).
2.2 ❓✔ Dúvida Comum e Resposta
- Dúvida Comum: “Será que posso usar a distância direta (reta) entre P e Q, calculando √((Xq – Xp)² + (Yq – Yp)²) e depois dividir por 2?”
- Resposta: Não. O ônibus não anda em linha reta: ele percorre as ruas, primeiro na horizontal e depois na vertical. Logo, a distância a ser considerada é |Xq – Xp| + |Yq – Yp|, e não a distância euclidiana.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 📌 Contextualização Simplificada
Temos P com Xp = 30 e Yp = 20, e Q com Xq = 550 e Yq = 320. O ônibus sai de P, anda horizontalmente até X = 550 (mantendo Y = 20), e depois segue verticalmente até Y = 320, alcançando Q.
3.2 📌 Estratégia Geral
- Calcular o deslocamento horizontal total de P a Q: ΔX = Xq – Xp.
- Calcular o deslocamento vertical total de P a Q: ΔY = Yq – Yp.
- Somar ΔX e ΔY para obter a distância total Ltotal.
- Dividir Ltotal por 2 para encontrar o ponto intermediário de percurso.
- A partir de P, avançar esse valor no trecho horizontal até ver se ultrapassa a esquina; caso não ultrapasse, a coordenada de T fica em (Xp + metade, Yp).
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 📌 Passo a Passo Detalhado
- Calcular ΔX entre P e Q (trecho horizontal):
- Xp = 30, Xq = 550.
- ΔX = 550 – 30 = 520.
- Calcular ΔY entre P e Q (trecho vertical):
- Yp = 20, Yq = 320.
- ΔY = 320 – 20 = 300.
- Distância total do percurso (em “L”):
- Ltotal = ΔX + ΔY = 520 + 300 = 820.
- Metade do percurso para igualar P→T e T→Q:
- Lmetade = 820 / 2 = 410.
- Determinar onde T está no trecho horizontal a partir de P:
- Partindo de P(Xp = 30, Yp = 20) e avançando 410 unidades na horizontal, temos:
- XT = 30 + 410 = 440.
- O Y de T permanece YT = 20.
- Verificação: como XT = 440 é menor que Xq = 550, significa que T está ainda antes da esquina, no mesmo trecho horizontal.
- Partindo de P(Xp = 30, Yp = 20) e avançando 410 unidades na horizontal, temos:
4.2 📌 Verificação Intermediária
- Distância de P até T no percurso:
- ΔX_PT = 440 – 30 = 410;
- ΔY_PT = 0 (mesmo Y).
- Logo, L(P,T) = 410 + 0 = 410.
- Distância de T até Q no percurso:
- De T(440, 20) até a esquina em (550, 20): ΔX = 550 – 440 = 110.
- Da esquina (550, 20) até Q(550, 320): ΔY = 320 – 20 = 300.
- Soma: 110 + 300 = 410.
- Confere que L(P,T) = 410 = L(T,Q).
Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) (290, 20)
B) (410, 0)
C) (410, 20)
D) (440, 0)
E) (440, 20)
5.2 Justificativa Individual
- A) (290, 20) ❌
- Se T fosse (290, 20), a distância de P até T seria 290 – 30 = 260, que não é metade de 820.
- B) (410, 0) ❌
- Y = 0 não coincide com o trecho horizontal do ônibus (que corre em Y = 20), portanto não faz parte do percurso.
- C) (410, 20) ❌
- A distância de P até (410, 20) seria 410 – 30 = 380, que não é 410.
- D) (440, 0) ❌
- Y = 0 novamente não faz parte da via que o ônibus percorre.
- E) (440, 20) ✅
- Distância de P a (440, 20): 440 – 30 = 410.
- De (440, 20) a Q:
- Horizontal: 550 – 440 = 110.
- Vertical: 320 – 20 = 300.
- Soma: 110 + 300 = 410.
- Confere que L(P,T) = 410 = L(T,Q).
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 📌 Resumo do Raciocínio
Calculamos ΔX = 520 e ΔY = 300, obtendo Ltotal = 820; dividimos por 2 para achar 410. Em seguida, partimos de P (Xp = 30, Yp = 20) e avançamos 410 na horizontal até (440, 20).
6.2 📌 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é E) (440, 20).
6.3 🔍 Resumo Final para Revisão
Em trajetos que seguem ruas horizontais e verticais, some sempre |Xq – Xp| + |Yq – Yp|, divida o total por 2 e, a partir do ponto inicial, avance essa metade respeitando cada segmento do percurso.
