Uma família composta por sete pessoas adultas, após decidir o itinerário de sua viagem, consultou o site de uma empresa aérea e constatou que o voo para a data escolhida estava quase lotado. Na figura, disponibilizada pelo site, as poltronas ocupadas estão marcadas com X e as únicas poltronas disponíveis são as mostradas em branco.
Disponível em: www.gebh.net. Acesso em: 30 out. 2013 (adaptado).
O número de formas distintas de se acomodar a família nesse voo é calculado por
Resolução em texto
Matérias Necessárias: Análise Combinatória (Permutações e Arranjos)
Nível da Questão: Médio
✅ Gabarito: A) 9! / 2!
🎯 Objetivo Geral: Determinar de quantas maneiras uma família de 7 pessoas pode ocupar as 9 poltronas disponíveis.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“O número de formas distintas de se acomodar a família nesse voo é calculado por ____.”
1.2 O que está sendo pedido?
Encontrar quantos arranjos (sequências ordenadas) de 7 pessoas podem ser feitos entre as poltronas disponíveis do avião.
1.3 Objetivo Cristalino
Calcular o número de maneiras de escolher e dispor 7 adultos em 9 poltronas vagas.
1.4 Pergunta de Atenção
Você lembrou que, ao selecionar pessoas para poltronas e a ordem importa (cada pessoa é diferente), estamos tratando de arranjos e não apenas combinações?
Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas
- Permutação (n!): todas as maneiras de ordenar n objetos.
- Arranjo (An,k): número de sequências ordenadas de k elementos distintos escolhidos entre n, dado por An,k = n! / (n−k)!.
- No caso de 7 pessoas e 9 poltronas, queremos arranjar as 7 em 9 lugares ⇒ A9,7 = 9! / (9−7)! = 9! / 2!
2.2 Dúvida Comum e Resposta
“Posso usar combinação (Cn,k)?”
✔ Não, pois combinação ignora a ordem dentro das poltronas. Aqui, cada distribuição difere se mudarmos quem senta em qual poltrona, então usamos arranjo.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Temos um desenho do interior do avião com várias poltronas marcadas com X (ocupadas) e somente 9 poltronas em branco (vagas). A família tem 7 adultos e quer sentar em algum desses 9 assentos livres.
3.2 Estratégia Geral
- Contar quantas poltronas estão realmente em branco ⇒ há 9 poltronas disponíveis.
- Como são 7 pessoas diferentes, a cada escolha de 7 assentos importa quem ocupa cada assento.
- Assim, calcular A9,7 para determinar de quantas formas distintas a família pode se acomodar.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
- Contagem de poltronas livres: observamos no desenho que existem 9 poltronas em branco.
- Definição de arranjo: queremos colocar 7 pessoas em 9 lugares, e cada permutação importa.
- Fórmula do arranjo:
A9,7 = 9! / (9 − 7)! - Simplificação do fatorial:
(9 − 7)! = 2! - Expressão final:
A9,7 = 9! / 2!
4.2 Verificação Intermediária
- 9! = 362 880
- 2! = 2
- Logo, 9! / 2! = 362 880 / 2 = 181 440
- Há, portanto, 181 440 maneiras de acomodar os 7 adultos nas 9 poltronas.
Passo 5: Análise das Alternativas
A) 9! / 2!
- ✅ Correta: corresponde exatamente a A9,7.
B) 9! / (7! × 2!)
- ❌ Equivale a C9,2, não leva em conta a disposição de 7 pessoas.
C) 7!
- ❌ Considera apenas permutações de 7 objetos, ignorando que existem 9 lugares disponíveis.
D) 5! / (2! × 4!)
- ❌ Não se relaciona com a contagem de 7 dentre 9; é uma combinação confusa dos denominadores.
E) 5! / (4! × 3!)
- ❌ Também não reflete a escolha ordenada de 7 em 9.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
Como há 9 poltronas livres e 7 pessoas distintas, usamos o arranjo A9,7 = 9! / 2! para contar todas as formas de sentar sem repetir nem deixar ordem irrelevante.
6.2 Gabarito Reafirmado
✅ Alternativa A) 9! / 2!
6.3 Resumo Final para Revisão
Para distribuir k pessoas em n lugares (ordem importante), use An,k = n! / (n−k)!, e não combinação.
