O proprietário de um parque aquático deseja construir uma piscina em suas dependências. A figura representa a vista superior dessa piscina, que é formada por três setores circulares idênticos, com ângulo central igual a 60°. O raio R deve ser um número natural.
O parque aquático já conta com uma piscina em formato retangular com dimensões 50 m x 24 m.
O proprietário quer que a área ocupada pela nova piscina seja menor que a ocupada pela piscina já existente.
Considere 3,0 como aproximação para π.
O maior valor possível para R, em metros, deverá ser
A) 16.
B) 28.
C) 29.
D) 31.
E) 49.
Resolução em texto
Matérias Necessárias: Geometria Plana (Setores Circulares e Cálculo de Áreas)
Nível da Questão: Médio
✅ Gabarito: B) 28
🎯 Objetivo Geral: Determinar o maior valor inteiro natural de R para que a área da nova piscina (três setores de 60°) seja menor que 1200 m².
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“O proprietário quer que a área ocupada pela nova piscina seja menor que a ocupada pela piscina já existente [1200 m²]. O maior valor possível para R, em metros, deverá ser ____.”
1.2 O que está sendo pedido?
Encontrar o maior número natural R que satisfaz a condição: área de três setores de 60° < 1200.
1.3 Objetivo Cristalino
Calcular a área da piscina nova, Aₙ = 3 × (setor de 60° de raio R), exigir Aₙ < 1200, e obter o maior R ∈ ℕ.
1.4 Pergunta de Atenção
Você lembrou que cada setor de 60° corresponde a 1/6 de círculo e que são 3 setores iguais?
Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas
- Área de um círculo de raio R: A_c = π · R².
- Área de um setor de ângulo θ (em graus): A_s = (θ / 360) · π · R².
- No nosso caso, θ = 60° ⇒ A_s = (60/360) · π · R² = (1/6) · π · R².
- Há 3 setores idênticos, logo:
Aₙ = 3 × A_s = 3 × [ (1/6) · π · R² ] = (3/6) · π · R² = (1/2) · π · R².
2.2 Dúvida Comum e Resposta
“Por que não somo três círculos completos?”
✔ Porque são apenas três setores de 60° cada, ou seja, juntos perfazem 3 × (60°/360°) = 1/2 de todo um círculo.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada (📌)
O desenho mostra uma “flor” formada por três pétalas, cada uma sendo um setor circular de 60° e raio R. O dono de um parque já tem uma piscina retangular de 50 m × 24 m ⇒ 1200 m². Ele quer que a nova piscina ocupe menor área. Precisamos achar o maior R inteiro nesse caso.
3.2 Estratégia Geral (📌)
- Calcular Aₙ(R) = (1/2) · π · R².
- Impor a condição Aₙ(R) < 1200.
- Usar π ≈ 3,0.
- Resolver R² < (2400)/π e extrair o maior R ∈ ℕ.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado (📌)
- Expressar a área total da piscina nova:
Aₙ = (1/2) · π · R² - Impor a restrição “menor que 1200”:
(1/2) · π · R² < 1200 - Multiplicar ambos os lados por 2:
π · R² < 2400 - Substituir π ≈ 3,0 e isolar R²:
3,0 · R² < 2400
R² < 2400 / 3,0
R² < 800 - Tirar raiz quadrada de 800:
√800 ≈ 28,284271… - R deve ser inteiro natural e satisfazer R < 28,284…
Portanto, maior R inteiro = 28.
4.2 Verificação Intermediária (📌)
- Se R = 28 ⇒ Aₙ = (1/2)·3,0·(28)² = 1,5·784 = 1176 m² (< 1200).
- Se R = 29 ⇒ Aₙ = 1,5·(29)² = 1,5·841 = 1261,5 m² (> 1200).
- Só R = 28 cumpre a condição.
Passo 5: Análise das Alternativas
A) 16 ❌
- R = 16 ⇒ Aₙ = 1,5·256 = 384 m² (< 1200), mas não é o maior.
B) 28 ✅
- R = 28 ⇒ Aₙ = 1,5·784 = 1176 m² (< 1200). É o maior inteiro menor que √800.
C) 29 ❌
- R = 29 ⇒ Aₙ = 1,5·841 = 1261,5 m² (> 1200), não satisfaz.
D) 31 ❌
- R = 31 ⇒ Aₙ = 1,5·961 = 1441,5 m² (> 1200).
E) 49 ❌
- R = 49 ⇒ Aₙ muito maior que 1200.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio (📌)
A área total dos três setores é Aₙ = (1/2)·π·R², impusemos (1/2)·3·R² < 1200 ⇒ R² < 800, logo R < √800 ≈ 28,28. O maior inteiro natural satisfazendo é R = 28.
6.2 Gabarito Reafirmado (📌)
✅ Alternativa B) 28
6.3 Resumo Final para Revisão (🔍)
Quando somar setores circulares, encontre a fração de círculo (aqui 3×60° = 180° ⇒ ½ círculo) e use a fórmula A = frac·π·R² antes de comparar com a área-alvo.
