A cobertura de uma tenda de lona tem formato de uma pirâmide de base quadrada e é formada usando quatro triângulos isósceles de base y. A sustentação da cobertura é feita por uma haste de medida x. Para saber quanto de lona deve ser comprado, deve-se calcular a área da superfície da cobertura da tenda.
A área da superfície da cobertura da tenda, em função de y e x, é dada pela expressão
Resolução em Texto
📌 🧮 Tema Geral:
🔹Determinar a área da cobertura de uma tenda, cuja forma é uma pirâmide quadrada formada por triângulos isósceles laterais, usando as variáveis x (altura da haste) e y (lado da base).
📚 Matérias Necessárias para a Solução
- Geometria Espacial: área lateral de pirâmides
- Geometria Plana: triângulo isósceles e fórmula da área do triângulo
- Teorema de Pitágoras
- Interpretação de representações geométricas
- Funções com raízes e variáveis algébricas
🔢 Nível da Questão
🔸Médio para Difícil, pois exige abstração geométrica, uso do Pitágoras e interpretação algébrica da área total com variáveis.
✅ Gabarito
- Alternativa A
📝 Resolução Passo a Passo
🔍 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 Trecho-chave:
“… deve-se calcular a área da superfície da cobertura da tenda.”
🎯 Objetivo:
Encontrar uma fórmula para a área da cobertura da tenda (ou seja, área lateral da pirâmide), em função das variáveis x e y.
👉 O que ele quer saber?
A área total dos 4 triângulos isósceles que formam a pirâmide quadrada da tenda. a área da lona que cobre a tenda.
📖 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
📐 1. Estrutura da tenda:
A tenda tem base quadrada, lado medindo y, e as faces laterais são 4 triângulos isósceles.
📌 2. Área da cobertura:
A área total da lona é a soma das áreas das 4 faces triangulares laterais.
Se cada triângulo tem base y e altura h, então:
- Área de 1 triângulo:
(base × altura) / 2 = (y × h)/2 - Área dos 4 triângulos:
4 × (y × h)/2 = 2y·h
🔁 Ou seja:
- Área total da cobertura = 2y·h
🧠 3. Encontrar h pela geometria:
Observe o triângulo com altura x (haste) e base y:
- Ao traçar a altura, você divide a base ao meio:
y/2 - A hipotenusa desse triângulo é h, a altura da face lateral.
Aplicando Pitágoras:
- h² = x² + (y/2)²
- h² = x² + y²/4
- h = √(x² + y²/4)
🧷 Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
Com os dados da imagem e a estrutura da tenda, temos:
- Lado da base: y
- Altura do vértice até o centro da base: x
- Cada face lateral é um triângulo com base y e altura h
- Queremos a área lateral total, isto é, área da lona
🧮 Passo 4 – Desenvolvimento do raciocínio e cálculos
Como já vimos:
- Área total da cobertura =
2y·h - Mas
h = √(x² + y²/4)
Substituindo:
- Área = 2y·√(x² + y²/4)
🧩 Passo 5 – Análise das Alternativas
A) 2y·√(x² + y²/4) ✅
→ Correta! É exatamente a fórmula que encontramos.
B) 2y·√(x² + y²/2) ❌
→ Erro na altura do triângulo. Devia ser y²/4, não y²/2.
C) 4y·√(x² + y²) ❌
→ Altura está incorreta, e área total das 4 faces não segue fórmula padrão.
D) 4·√(x² + y²/4) ❌
→ Faltou o fator y, que é a base dos triângulos.
E) 4·√(x² + y²/2) ❌
→ Mesmos erros de D e B combinados
🎯Passo 6: Conclusão e justificativa final
A área da cobertura da tenda é obtida somando as 4 faces triangulares, cuja base é y e altura é √(x² + y²/4), resultando na fórmula:
- Área = 2y·√(x² + y²/4)
🔐 Gabarito correto: Alternativa A
