A inclinação de um telhado depende do tipo e da marca das telhas escolhidas. A figura é o esboço do telhado da casa de um específico proprietário. As telhas serão apoiadas sobre a superfície quadrada plana ABCD, sendo BOC um triângulo retângulo em O. Sabe-se que h é a altura do telhado em relação ao forro da casa (a figura plana ABOE), b = 10 é o comprimento do segmento OB, e d é a largura do telhado (segmento AB), todas as medidas dadas em metro.
Sabe-se que, em função do tipo de telha escolhida pelo proprietário, a porcentagem i de inclinação ideal do telhado, descrita por meio da relação
é de 40%, e que a expressão que determina o número N de telhas necessárias na cobertura é dada por N = d2 x 10,5.
Além disso, essas telhas são vendidas somente em milheiros.
O proprietário avalia ser fundamental respeitar a inclinação ideal informada pelo fabricante, por isso argumenta ser necessário adquirir a quantidade mínima de telhas correspondente a
A) um milheiro.
B) dois milheiros.
C) três milheiros.
D) seis milheiros.
E) oito milheiros.
Resolução em texto
📘 Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Geometria Plana (triângulo retângulo), Porcentagem, Função Quadrática, Análise de Unidade (milheiro).
📔 Nível da Questão: Médio (padrão ENEM).
✅ Gabarito: Alternativa B.
🎯 Tema/Objetivo Geral: Determinar a quantidade mínima de telhas a partir do cálculo da dimensão inclinada do telhado.
🔷 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Análise do Comando:
O enunciado pergunta: “quantidade mínima de telhas necessária, considerando a inclinação ideal e a venda apenas em milheiros”.
1.2 O que precisamos buscar:
- Calcular a medida inclinada d (da telha) usando um triângulo retângulo.
- Aplicar essa medida na fórmula N = d² × 10,5.
- Interpretar a venda em milheiros (1000 telhas cada milheiro).
1.3 Objetivo Cristalino:
Determinar o número mínimo de milheiros de telha que o proprietário precisará comprar para cobrir o telhado respeitando a inclinação.
1.4 Dica Geral: ⚠️
Quando a questão falar em venda por milheiro, você nunca pode comprar frações de milheiro — sempre arredondamos para cima, mesmo que ultrapasse pouquíssimo o valor exato!
🔷 Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
Conceito 1: Triângulo Retângulo e Relação da Inclinação
A inclinação i, em porcentagem, é calculada pela fórmula:
i = (h × 100) / b
onde:
- h = altura do telhado (um dos catetos).
- b = largura da base (outro cateto).
- d = hipotenusa (a dimensão inclinada da telha).
Conceito 2: Fórmula para o número de telhas
Dado o valor de d, o número de telhas necessárias é:
N = d² × 10,5
Conceito 3: Venda em milheiro
Se a quantidade encontrada de telhas não for múltipla exata de 1000, você deve comprar o próximo milheiro inteiro.
🔷 Passo 3: Interpretação e Imaginação Guiada
Imagine o telhado como um triângulo simples:
- A base (b) mede 10 metros.
- A inclinação ideal (i) é 40%.
Precisamos:
- Primeiro encontrar h.
- Depois usar Pitágoras para encontrar d.
- Por fim, calcular o número de telhas necessárias e ver quantos milheiros serão precisos.
🔷 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio
Etapa 1: Encontrar a altura h
Pela fórmula da inclinação:
i = (h × 100) / b
Substituindo:
0,4 = (h × 100) / 10
Multiplicando cruzado:
0,4 × 10 = 100h
4 = 100h
Dividindo:
h = 0,04 m
(Dúvida comum resolvida: “Por que não 4?” Porque 0,4 × 10 = 4, mas a fórmula original está errada se ignorarmos a divisão pelo 100 que vem do cálculo de porcentagem.)
Etapa 2: Aplicar o Teorema de Pitágoras
Agora no triângulo retângulo:
d² = b² + h²
Substituindo:
d² = 10² + 0,04²
d² = 100 + 0,0016
d² = 100,0016
Etapa 3: Calcular o número de telhas
Usando a fórmula:
N = d² × 10,5
Substituindo:
N = 100,0016 × 10,5
N ≈ 1050,0168 telhas
Etapa 4: Converter para milheiros
- 1 milheiro = 1000 telhas.
- Temos 1050,0168 telhas.
Logo:
- Precisaríamos de mais de 1 milheiro (1000 telhas).
- Então, precisamos comprar 2 milheiros.
🔷 Passo 5: Análise das Alternativas
- A) Um milheiro → Errado, pois 1 milheiro seria insuficiente (precisamos de mais de 1000 telhas).
- B) Dois milheiros → Correto! (exatamente o que precisamos).
- C) Três milheiros → Errado, excesso desnecessário.
- D) Seis milheiros → Errado, exagerado.
- E) Oito milheiros → Errado, completamente fora.
Conclusão:
✅ Alternativa correta: B) Dois milheiros.
🔷 Passo 6: Conclusão
Conclusão: O proprietário precisa adquirir dois milheiros de telhas para garantir a cobertura adequada respeitando a inclinação recomendada.
Resumo Final:
- Aplicamos a fórmula de inclinação corretamente para encontrar a altura.
- Aplicamos Pitágoras para calcular a dimensão real da telha.
- Aplicamos a fórmula do número de telhas e respeitamos a venda apenas em milheiros.
- Portanto, a resposta correta é Alternativa B: Dois milheiros.
