Em certa página de um livro foi anotada uma senha. Para se descobrir qual é a página, dispõe-se da informação de que a soma dos quadrados dos três números correspondentes à página da senha, à página anterior e à página posterior é igual a um certo número k que será informado posteriormente.
Denotando por n o número da página da senha, qual é a expressão que relaciona n e k?
A) 3n2 − 4n = k − 2
B) 3n2 + 4n = k − 2
C) 3n2 = k + 2
D) 3n2 = k − 2
E) 3n2 = k
Resolução em texto
📘 Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Matemática: Álgebra (produtos notáveis e equações).
- Interpretação de enunciados.
📔 Nível da Questão:
- Médio (ENEM padrão).
✅ Gabarito:
- Alternativa D.
🎯 Tema/Objetivo Geral:
- Construir a expressão algébrica que relaciona o número da página n com a constante k, a partir de uma soma de quadrados de três páginas consecutivas.
🔷 1º Passo: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Análise do Comando:
Queremos encontrar uma expressão algébrica que ligue o número da página da senha n ao número k (que representa a soma dos quadrados das páginas consecutivas).
1.2 O que precisamos buscar:
- Montar a soma dos quadrados das páginas anterior, atual e posterior.
- Organizar essa soma de maneira a isolar n e relacioná-lo a k.
1.3 Palavras-chave importantes:
- Soma dos quadrados
- Página anterior (n – 1)
- Página posterior (n + 1)
1.4 Dica Geral (⚠️):
Quando um problema fala em “página anterior” e “posterior”, geralmente é útil pensar em (n – 1) e (n + 1) de forma literal para montar a expressão correta, sem tentar “pular” direto para o cálculo.
🔷 2º Passo: Interpretação e Visualização do Problema
Visualizando:
- Página anterior: n – 1
- Página atual (senha): n
- Página posterior: n + 1
Queremos somar os quadrados desses três números:
(n – 1)² + n² + (n + 1)²
E igualar esse resultado a k.
🔷 3º Passo: Explicação de Conceitos Necessários
3.1 Produto Notável:
Expansão dos quadrados:
- (n – 1)² = n² – 2n + 1
- (n + 1)² = n² + 2n + 1
3.2 Dúvida Comum (⚡):
“Preciso expandir tudo ou existe um atalho?”
Resposta:
Expandir é necessário aqui porque temos termos de primeiro grau (como -2n e +2n) que vão se cancelar mais adiante. Se não expandir, corre risco de errar!
🔷 4º Passo: Cálculos Organizados
Montando a soma:
(n – 1)² + n² + (n + 1)²
Expandindo:
(n² – 2n + 1) + n² + (n² + 2n + 1)
Agora somando os termos semelhantes:
- n² + n² + n² = 3n²
- -2n + 2n = 0 (cancelam!)
- 1 + 1 = 2
Então:
k = 3n² + 2
Queremos organizar da forma das alternativas (com o 3n² isolado):
3n² = k – 2
🔷 5º Passo: Análise das Alternativas
Comparando:
- A) 3n² − 4n = k − 2 → (Errado: não tem termo -4n)
- B) 3n² + 4n = k − 2 → (Errado)
- C) 3n² = k + 2 → (Errado: o sinal está errado)
- D) 3n² = k − 2 → Correto!
- E) 3n² = k → (Errado: faltaria o -2)
✅ Alternativa D.
🔷 6º Passo: Conclusão e Justificativa Final
Conclusão:
A relação correta entre o número da página da senha n e o número k é:
3n² = k – 2
Resumo Final:
- Montamos corretamente a soma dos quadrados.
- Expandimos e organizamos com atenção.
- Identificamos a alternativa correta analisando calmamente o que foi pedido.
Resposta Final:
✅ Alternativa D.
