Um brinquedo chamado pula-pula, quando visto de cima, consiste de uma cama elástica com contorno em formato de um hexágono regular.
Se a área do círculo inscrito no hexágono é 3π metros quadrados, então a área do hexágono, em metro quadrado, é
Resolução em texto
📘 Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Matemática: Geometria Plana (hexágono regular e círculo inscrito).
📔 Nível da Questão:
- Médio (ENEM padrão).
✅ Gabarito:
- Alternativa B.
🎯 Tema/Objetivo Geral:
- Determinar a área de um hexágono regular a partir da área de seu círculo inscrito.
🔷 1º Passo: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Análise do Comando:
A questão pede a área do hexágono regular sabendo que a área do círculo inscrito é 3π metros quadrados.
1.2 O que precisamos buscar:
- Calcular o raio r do círculo.
- Determinar o lado L do hexágono.
- Aplicar a fórmula da área do hexágono.
1.3 Palavras-chave importantes:
- Círculo inscrito
- Hexágono regular
- Área
1.4 Dica Geral (⚠️):
Dúvida comum:
“O que é um círculo inscrito?”
Resposta:
É o círculo que toca todos os lados internos do polígono, ou seja, o raio é perpendicular aos lados e conecta o centro ao meio de cada lado.
🔷 2º Passo: Interpretação e Visualização do Problema
Informações importantes:
- Área do círculo: 3π metros quadrados.
- Precisamos descobrir a área do hexágono baseado no valor do raio.
Observação Visual:
- O hexágono pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros.
- O lado L do hexágono se relaciona diretamente com o raio r e pode ser calculado usando o Teorema de Pitágoras.
🔷 3º Passo: Explicação de Conceitos Necessários
3.1 Área do Círculo:
A fórmula é:
Área do círculo = πr²
3.2 Relação entre raio e lado L:
Em um hexágono regular, o centro até o vértice forma um triângulo equilátero. Porém, quando trabalhamos com círculo inscrito, precisamos considerar um triângulo retângulo, usando metade do lado L.
3.3 Área do Hexágono:
A fórmula da área de um hexágono regular em função do lado é:
Área do hexágono = (3√3/2) × L²
Subpasso Especial (⚡ dúvida frequente):
Pergunta:
“Por que usar triângulo retângulo para achar L?”
Resposta:
Porque ao desenhar o raio r até o lado do hexágono, você corta o lado ao meio, formando dois triângulos retângulos — onde um cateto é L/2 e o outro é r.
🔷 4º Passo: Cálculos Organizados
4.1 Determinando o raio r:
Sabemos que:
πr² = 3π
Dividindo ambos os lados por π:
r² = 3
Portanto:
r = √3
4.2 Determinando o lado L:
Usando Pitágoras no triângulo retângulo:
r² + (L/2)² = L²
Substituindo r = √3:
(√3)² + (L/2)² = L²
3 + (L²/4) = L²
Multiplicando toda a equação por 4 para eliminar frações:
12 + L² = 4L²
12 = 3L²
L² = 4
Logo:
L = 2
4.3 Calculando a área do hexágono:
Área do hexágono:
Área = (3√3/2) × L²
Substituindo L = 2:
Área = (3√3/2) × 4
Área = 6√3
🔷 5º Passo: Análise das Alternativas
Comparando:
- A) 9 → Errado.
- B) 6√3 → Correto!
- C) 9√2 → Errado.
- D) 12 → Errado.
- E) 12√3 → Errado.
✅ Portanto, a resposta correta é Alternativa B.
🔷 6º Passo: Conclusão e Justificativa Final
Conclusão:
Ao calcular o raio a partir da área do círculo, determinamos corretamente o lado do hexágono e, usando a fórmula da área para hexágono regular, chegamos a:
Área = 6√3 metros quadrados.
Resumo Final:
- Cálculo do raio pela área do círculo.
- Relação geométrica do hexágono com o círculo.
- Aplicação direta da fórmula do hexágono regular.
- Resultado final confirmando a alternativa correta B.
