Desde 1999 houve uma significativa mudança nas placas dos carros particulares em todo o Brasil. As placas, que antes eram formadas apenas por seis caracteres alfanuméricos, foram acrescidas de uma letra, passando a ser formadas por sete caracteres, sendo que os três primeiros caracteres devem ser letras (dentre as 26 letras do alfabeto) e os quatro últimos devem ser algarismos (de 0 a 9). Essa mudança possibilitou a criação de um cadastro nacional unificado de todos os veículos licenciados e ainda aumentou significativamente a quantidade de combinações possíveis de placas. Não são utilizadas placas em que todos os algarismos sejam iguais a zero.
Disponível em: http://g1.globo.com. Acesso em: 14 jan. 2012 (adaptado).
Nessas condições, a quantidade de placas que podem ser utilizadas é igual:
Resolução em Texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Contagem, Princípio fundamental da contagem, Exclusão de casos.
📝 Tema/Objetivo Geral: Calcular o total de combinações possíveis de placas veiculares com restrições.
📊 Nível da Questão: Médio.
🎯 Gabarito: C) 26³(10⁴ – 1)
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 A questão trata da formação de placas veiculares brasileiras, compostas por 7 caracteres: os 3 primeiros são letras (dentre 26 possíveis) e os 4 últimos são números (de 0 a 9, ou seja, 10 possibilidades por algarismo).
O comando pede a quantidade total de placas possíveis, respeitando a única restrição: excluir a placa com final 0000.
🎯 O objetivo é encontrar uma expressão que represente corretamente todas as combinações válidas, utilizando o princípio fundamental da contagem e aplicando a exclusão de um único caso proibido.
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
📐 O princípio fundamental da contagem permite calcular o número total de combinações multiplicando as possibilidades de cada posição. Já a exclusão de casos é aplicada quando há combinações específicas que precisam ser removidas do total.
🔡 Para as letras:
Cada uma das 3 posições pode ser preenchida com 26 letras, então:
✔ 26 × 26 × 26 = 26³
🔢 Para os dígitos:
Cada uma das 4 posições pode ser preenchida com 10 algarismos (0 a 9):
✔ 10 × 10 × 10 × 10 = 10⁴
🚫 Mas precisamos excluir apenas a sequência 0000, então o total de combinações válidas será:
✔ 10⁴ – 1
Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
🧾 A estrutura da placa é:
LLLNNNN (L = letra, N = número)
🎯 Sabendo que:
- Há 26³ combinações possíveis de letras
- E 10⁴ – 1 combinações válidas de números (excluindo 0000)
➡ O total de placas possíveis será a multiplicação dessas quantidades.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
🧮 Aplicando o raciocínio:
- Letras: 26³ combinações
- Números válidos: 10⁴ – 1 = 9 999 combinações
🔗 Total de placas válidas:
26³ × (10⁴ – 1)
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
❌ A) 26³ + 9⁴
→ Soma inadequada e potência incorreta nos números.
❌ B) 26³ × 9⁴
→ Erro ao considerar 9 opções para os algarismos, além de usar uma potência incorreta (deveria ser 10⁴ – 1).
✅ C) 26³(10⁴ – 1)
→ Corretíssima! Representa com exatidão o número de placas possíveis: combinações de letras multiplicadas pelas combinações numéricas válidas, excluindo o 0000.
❌ D) (26³ + 10⁴) – 1
→ Soma inadequada entre blocos distintos (letras e números não devem ser somados).
❌ E) (26³ × 10⁴) – 1
→ Subtrai 1 do total geral, o que elimina uma placa qualquer, e não necessariamente a 0000.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
✔ A resolução utiliza o princípio multiplicativo para contar as combinações possíveis e exclui corretamente a única sequência inválida (0000).
🔍 Resumo Final:
As placas seguem o padrão LLLNNNN, com 26³ possibilidades para letras e 10⁴ – 1 para números (desconsiderando o caso 0000). Assim, o total de placas válidas é 26³ × (10⁴ – 1), confirmando a alternativa C como a correta.
