Dois atletas partem de pontos, respectivamente P1 e P2 , em duas pistas planas distintas, conforme a figura, deslocando-se no sentido anti-horário até a linha de chegada, percorrendo, desta forma, a mesma distância (L). Os trechos retos dos finais das curvas até a linha de chegada desse percurso têm o mesmo comprimento (l) nas duas pistas e são tangentes aos trechos curvos, que são semicírculos de centro C. O raio do semicírculo maior é R1 e o raio do semicírculo menor é R2 .
Sabe-se que o comprimento de um arco circular é dado pelo produto do seu raio pelo ângulo, medido em radiano, subentendido pelo arco.
Nas condições apresentadas, a razão da medida do ângulo P2CP1 pela diferença L− l é dada por
Resolução em texto
📘 Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
Geometria Circular, Comprimento de Arco, Radiano, Álgebra (manipulação de razão).
📔 Nível da Questão:
Difícil
✅ Gabarito:
C) 1/R₂ – 1/R₁
🎯 Tema/Objetivo Geral:
Determinar a razão entre a medida angular do arco circular e a diferença entre os comprimentos dos dois arcos percorridos pelos atletas, com base na fórmula do comprimento de arco em radianos.
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificando o Objetivo: A questão nos pede para encontrar uma expressão matemática que represente a razão (divisão) entre a medida do ângulo P₂CP₁ e a diferença L – l.
Simplificando, o verdadeiro desafio aqui é um trabalho de detetive algébrico. Precisamos montar equações que descrevam o percurso de cada um dos dois atletas. A pista principal é que, no final, eles percorreram exatamente a mesma distância total (L). Usando essa igualdade, vamos manipular as equações para isolar os termos que a pergunta nos pede (ângulo P₂CP₁ e L – l) e encontrar a relação entre eles.
Nosso Roteiro de Ação (Plano de Ataque) será o seguinte:
1. Definir as variáveis: Dar nomes aos ângulos e distâncias envolvidos.
2. Escrever a equação para a distância total do Atleta 1 (L₁), que corre na pista externa.
3. Escrever a equação para a distância total do Atleta 2 (L₂), que corre na pista interna.
4. Usar a condição fundamental: Igualar as duas distâncias (L₁ = L₂ = L).
5. Manipular a equação resultante para encontrar a expressão pedida.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para resolver este problema, precisaremos de uma única, mas poderosa, ferramenta fornecida pelo próprio enunciado.
Ferramenta: O Comprimento do Arco Circular
- Lógica: O tamanho de um “pedaço de pizza” (o arco) é determinado pelo tamanho do raio e pelo ângulo da fatia.
- Fórmula (dada na questão): Comprimento do Arco = Raio × Ângulo (com o ângulo em radianos).
- Aplicação: Usaremos esta fórmula para calcular a parte curva do percurso de cada atleta.
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos executar nosso plano, passo a passo, como um técnico de atletismo analisando a pista.
Etapa 1: Definir as variáveis.
- L: Distância total percorrida por ambos os atletas.
- l: Comprimento do trecho reto (o mesmo para ambos).
- R₁: Raio do semicírculo maior (pista do Atleta 1).
- R₂: Raio do semicírculo menor (pista do Atleta 2).
- θ₁: Ângulo percorrido pelo Atleta 1 na parte curva.
- θ₂: Ângulo percorrido pelo Atleta 2 na parte curva.
- α (Alfa): O ângulo P₂CP₁ que queremos encontrar. Note pela figura que θ₁ = θ₂ + α.
Etapa 2: Equação para o Atleta 1 (pista externa).
A distância total L é a soma do trecho reto com o trecho curvo.
L = l + (Comprimento do Arco 1)
L = l + R₁ · θ₁ (Equação I)
Etapa 3: Equação para o Atleta 2 (pista interna).
L = l + (Comprimento do Arco 2)
L = l + R₂ · θ₂ (Equação II)
Etapa 4: Usar a condição fundamental.
Como as duas expressões são iguais a L, podemos igualá-las:
l + R₁ · θ₁ = l + R₂ · θ₂
R₁ · θ₁ = R₂ · θ₂
Etapa 5: Manipular a equação para encontrar a expressão pedida.
Nosso objetivo é encontrar a razão α / (L – l). Vamos trabalhar para isolar esses termos.
Primeiro, vamos usar a relação entre os ângulos: θ₁ = θ₂ + α. Substituindo isso na equação acima:
R₁ · (θ₂ + α) = R₂ · θ₂
R₁θ₂ + R₁α = R₂θ₂
R₁α = R₂θ₂ – R₁θ₂
R₁α = θ₂(R₂ – R₁)
α = θ₂(R₂ – R₁) / R₁
Isso ainda não nos ajuda muito. Vamos tentar outra abordagem. Das equações I e II, podemos isolar os arcos:
- Da Equação I: L – l = R₁ · θ₁ => θ₁ = (L – l) / R₁
- Da Equação II: L – l = R₂ · θ₂ => θ₂ = (L – l) / R₂
Agora, usamos a relação α = θ₁ – θ₂. Substituindo θ₁ e θ₂:
α = [ (L – l) / R₁ ] – [ (L – l) / R₂ ]
Podemos colocar (L – l) em evidência:
α = (L – l) * [ 1/R₁ – 1/R₂ ]
A questão pede a razão α / (L – l). Vamos passar o (L – l) para o outro lado, dividindo:
α / (L – l) = 1/R₁ – 1/R₂
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
O erro mais comum aqui é se perder na álgebra. Outra armadilha está na interpretação do ângulo. A figura e o enunciado dizem “ângulo P₂CP₁”. Olhando para a imagem, a posição de partida do atleta 1 (P₁) está “mais para trás” no ângulo do que a do atleta 2 (P₂). A diferença entre os ângulos percorridos (θ₁ e θ₂) é exatamente α. No entanto, a forma como os pontos estão desenhados (θ₁ = θ₂ + α) e o resultado final da subtração (1/R₁ – 1/R₂) levam a um valor negativo, já que R₁ > R₂. O enunciado pede a “medida” do ângulo, então estamos interessados no valor absoluto. A ordem correta da subtração que leva a um resultado positivo seria θ₂ – θ₁, o que resultaria em 1/R₂ – 1/R₁.
Vamos checar a pergunta: “a razão da medida do ângulo P₂CP₁ pela diferença L – l”.
α = (L-l) * (1/R₂ – 1/R₁) (para α ser positivo)
α / (L-l) = 1/R₂ – 1/R₁
Síntese do raciocínio:
Expressamos a distância total percorrida por cada atleta em função do trecho reto e do trecho em arco. Igualando as distâncias, relacionamos os arcos. Isolamos os ângulos em função da distância (L-l) e dos raios. Finalmente, subtraímos os ângulos para encontrar a expressão para α e a manipulamos para chegar à razão pedida.
Expectativa: A expressão final deve ser 1/R₂ – 1/R₁.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
Vamos agora analisar as alternativas.
A) R₂ – R₁
- O Diagnóstico do Erro: O aluno pode ter simplesmente subtraído os raios, sem usar a lógica dos arcos.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
B) 1/R₁ – 1/R₂
- A Narrativa do Erro: O aluno chegou à expressão correta, mas com a ordem da subtração trocada, o que resultaria em um valor negativo.
- O Diagnóstico do Erro: “Erro de Sinal / Ordem da Subtração”.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
C) 1/R₂ – 1/R₁
- Análise: Corresponde exatamente à expressão que deduzimos para que a medida do ângulo α seja positiva.
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
D) 1 / (R₂ – R₁)
- O Diagnóstico do Erro: Erro na manipulação algébrica das frações.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
E) 1/R₁ + 1/R₂
- O Diagnóstico do Erro: Erro conceitual, somando os ângulos em vez de subtraí-los.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
A resposta correta é a C) 1/R₂ – 1/R₁, pois esta é a expressão matemática que resulta da manipulação algébrica das equações que descrevem os percursos dos atletas.
Resumo-flash (A Imagem Mental): A pista de corrida é um problema de geometria disfarçado; para que a distância seja a mesma, o corredor de fora precisa de um “desconto” no ângulo, e a matemática nos permite calcular exatamente o tamanho desse desconto.
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Fim): O cálculo que fizemos para “compensar” as raias da pista de atletismo conecta a Geometria com a Engenharia de Transportes e o projeto de ferrovias. Quando um trem faz uma curva, a roda que está no trilho de fora (raio maior) precisa percorrer uma distância maior do que a roda que está no trilho de dentro (raio menor), no mesmo intervalo de tempo. Para que isso aconteça sem que as rodas deslizem ou o trem descarrile, as rodas dos trens são projetadas em formato cônico. Esse design engenhoso faz com que, na curva, o diâmetro efetivo da roda externa aumente e o da interna diminua, compensando as diferentes distâncias a serem percorridas. É uma solução de engenharia brilhante para o mesmo problema geométrico da nossa pista de corrida.
