Um jardineiro cultiva plantas ornamentais e as coloca à venda quando estas atingem 30 centímetros de altura. Esse jardineiro estudou o crescimento de suas plantas, em função do tempo, e deduziu uma fórmula que calcula a altura em função do tempo, a partir do momento em que a planta brota do solo até o momento em que ela atinge sua altura máxima de 40 centímetros. A fórmula é h = 5·log2 (t + 1), em que t é o tempo contado em dia e h, a altura da planta em centímetro.
A partir do momento em que uma dessas plantas é colocada à venda, em quanto tempo, em dia, ela alcançará sua altura máxima?
A) 63
B) 96
C) 128
D) 192
E) 255
Resolução em Texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução
- Logaritmo
🔢 Nível da Questão
🔹Médio/Difícil
✅ Gabarito
- Alternativa D)
📝 Resolução Passo a Passo
🔍 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
O comando pede:
“A partir do momento em que uma dessas plantas é colocada à venda, em quanto tempo, em dia, ela alcançará sua altura máxima?”
Ou seja:
- Ela é colocada à venda quando atinge 30 cm.
- Ela atinge sua altura máxima com 40 cm.
Nosso objetivo é descobrir:
quantos dias depois de atingir 30 cm a planta atinge 40 cm.
📖 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
Temos a fórmula da altura da planta:
h = 5 * log₂ (t + 1)
Onde:
- h = altura da planta em cm
- t = tempo contado em dias, desde que a planta brota do solo
Precisamos:
- Calcular t₁, o tempo quando h = 30 cm
- Calcular t₂, o tempo quando h = 40 cm
- Achar t₂ – t₁, que será o intervalo desejado!
🧾Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
Passo 1: Momento da venda (h = 30 cm)
Substituímos na fórmula:
30 = 5 * log₂ (t + 1)
Dividimos por 5:
30 ÷ 5 = log₂ (t + 1)
6 = log₂ (t + 1)
Agora, aplicamos a definição de logaritmo:
t + 1 = 2⁶
t + 1 = 64
Portanto:
t = 64 – 1 = 63 dias
Passo 2: Momento da altura máxima (h = 40 cm)
Substituímos na fórmula:
40 = 5 * log₂ (t + 1)
Dividimos por 5:
40 ÷ 5 = log₂ (t + 1)
8 = log₂ (t + 1)
Aplicamos a definição de logaritmo:
t + 1 = 2⁸
t + 1 = 256
Portanto:
t = 256 – 1 = 255 dias
- Agora calculamos a diferença entre os tempos:
t₂ – t₁ = 255 – 63
t = 192 dias
🧷 Passo 4: Análise das alternativas e resolução
Vamos conferir:
- A) 63 — Errado ❌ (esse é o tempo até a venda, não até a altura máxima após a venda)
- B) 96 — Errado ❌
- C) 128 — Errado ❌
- D) 192 — Correto ✅
- E) 255 — Errado ❌ (esse é o tempo total desde o broto até a altura máxima)
🎯Passo 5: Conclusão e justificativa final
✔️ A planta leva 192 dias, após atingir 30 cm de altura (momento em que é colocada à venda), para alcançar sua altura máxima de 40 cm.
✔️ Seguimos a fórmula da questão, aplicamos logaritmos corretamente e encontramos o intervalo de tempo com clareza.
