No trapézio isósceles mostrado na figura a seguir, M é o ponto médio do segmento BC, e os pontos P e Q são obtidos dividindo o segmento AD em três partes iguais.
Pelos pontos B, M, C, P e Q são traçados segmentos de reta, determinando cinco triângulos internos ao trapézio, conforme a figura.
A razão entre BC e AD que determina áreas iguais para os cinco triângulos mostrados na figura é:
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Geometria plana (área de triângulo), razão e proporção.
📝 Tema/Objetivo Geral: Avaliar a capacidade do aluno em aplicar a fórmula da área de triângulo e relações de proporcionalidade para determinar uma razão entre segmentos.
📊 Nível da Questão: Médio
🎯 Gabarito: B
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
A questão apresenta um trapézio isósceles com cinco triângulos internos formados por segmentos traçados a partir de pontos específicos. Informa que M é ponto médio de BC e que os pontos P e Q dividem o segmento AD em três partes iguais. O comando pede a razão entre os segmentos BC e AD que garante que os cinco triângulos internos tenham áreas iguais.
📌 Palavras-chave: razão, áreas iguais, ponto médio, partições iguais.
Objetivo: Encontrar BC / AD sabendo que todos os triângulos formados possuem mesma área e mesma altura.
Agora que o comando foi analisado e o objetivo definido, vamos abordar os conceitos e conteúdos necessários.
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
Quando dois triângulos têm a mesma altura, para que suas áreas sejam iguais, suas bases também devem ser iguais, pois: Área do triângulo = (base × altura) / 2
Se as alturas são iguais, basta que as bases também sejam iguais para garantir a igualdade das áreas. Também usaremos o conceito de razão entre segmentos e identificação de ponto médio e divisão em partes iguais.
Com os conceitos bem estabelecidos, vamos agora interpretar o texto da questão.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
📌 O trapézio é isósceles, com AD como a base maior e BC como base menor.
📌 O ponto M é o meio de BC, então BM = MC.
📌 O segmento AD é dividido em três partes iguais, então AP = PQ = QD.
- Os segmentos internos ligam os pontos B, M, C às divisões P e Q, formando cinco triângulos no interior do trapézio.
Como a altura é a mesma para todos, precisamos que as bases dos cinco triângulos sejam iguais para que as áreas também sejam.
Agora que interpretamos o texto, vamos desenvolver o raciocínio e realizar os cálculos necessários.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
Seja x o comprimento de cada uma das cinco bases dos triângulos.
🔹 Como o ponto M é o meio de BC, temos: BM = MC = x
🔹 Como P e Q dividem AD em três partes iguais, temos: AP = PQ = QD = x
📌 Somando as partes, temos:
. BC = BM + MC = x + x = 2x
. AD = AP + PQ + QD = x + x + x = 3x
📌 Portanto, a razão pedida é:
. BC / AD = 2x / 3x = 2 / 3
Com os cálculos realizados, vamos agora analisar as alternativas apresentadas.
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
📌 As alternativas são:
- A) 1 / 3
- B) 2 / 3
- C) 2 / 5
- D) 3 / 5
- E) 5 / 6
✅ A razão correta é 2 / 3, pois foi essa a relação encontrada entre BC e AD para que todos os triângulos tenham a mesma área.
❌ As demais alternativas não satisfazem a condição de igualdade entre as áreas.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📌 A igualdade das áreas exige igualdade entre as bases dos triângulos, visto que todos compartilham a mesma altura. Como as bases de BC são divididas em duas partes iguais e AD em três, a razão BC / AD = 2 / 3 garante essa condição.
🔍 Resumo Final: A razão entre os segmentos BC e AD que garante a igualdade de área entre os cinco triângulos é 2 / 3.
✅ Alternativa correta: B.
